प्रायिकता MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Probability - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

दिया गया है:

एक अनभिनत सिक्का दो बार स्वतंत्र रूप से उछाला जाता है। X = शीर्षों की संख्या।

एक अनभिनत 6-फलकीय पासे को यादृच्छिक रूप से स्वतंत्र रूप से फेंका जाता है। Y = पासे के ऊपर की संख्या।

प्रयुक्त सूत्र:

स्वतंत्र घटनाओं A और B की प्रायिकता: P(A और B) = P(A) x P(B)

परस्पर अपवर्जी घटनाओं के लिए, P(A या B) = P(A) + P(B)

गणनाएँ:

X (2 सिक्के के उछाल से शीर्षों की संख्या) के लिए प्रायिकता बंटन :

संभावित परिणाम: TT, HT, TH, HH (कुल 4 परिणाम)

P(X = 0) (TT) = 1/4

P(X = 1) (HT, TH) = 2/4 = 1/2

P(X = 2) (HH) = 1/4

Y (एक अनभिनत 6-फलकीय पासे पर संख्या) के लिए प्रायिकता बंटन :

संभावित परिणाम: 1, 2, 3, 4, 5, 6 (कुल 6 परिणाम)

P(Y = k) = 1/6 k = 1, 2, 3, 4, 5, 6 के लिए

(X, Y) के सभी संयोजन इस प्रकार हैं कि X + Y = 4:

चूँकि X केवल 0, 1 या 2 हो सकता है, हम संभावित जोड़ियों को सूचीबद्ध करते हैं:

स्थिति 1: X = 0

यदि X = 0, तो Y 4 (0 + 4 = 4) होना चाहिए। 

P(X = 0 और Y = 4) = P(X = 0) × P(Y = 4) = (1/4) × (1/6) = 1/24

स्थिति 2: X = 1

यदि X = 1, तो Y 3 (1 + 3 = 4) होना चाहिए। 

P(X = 1 और Y = 3) = P(X = 1) × P(Y = 3) = (1/2) × (1/6) = 1/12

स्थिति 3: X = 2

यदि X = 2, तो Y 2 (2 + 2 = 4) होना चाहिए। 

P(X = 2 और Y = 2) = P(X = 2) × P(Y = 2) = (1/4) × (1/6) = 1/24

इन परस्पर अपवर्जी स्थितियों की प्रायिकताओं का योग करें:

⇒ P(X + Y = 4) = 1/24 + 1/12 + 1/24

⇒ P(X + Y = 4) = 1/24 + 2/24 + 1/24

⇒ P(X + Y = 4) = (1 + 2 + 1) / 24

⇒ P(X + Y = 4) = 4 / 24

⇒ P(X + Y = 4) = 1/6

∴ सही उत्तर विकल्प 4 है।

दिया गया है:

एक पुस्तकालय में एक शेल्फ में तीन अलग-अलग विषयों की नौ पुस्तकें हैं। इनमें से दो भौतिकी की हैं, चार रसायन विज्ञान की हैं और शेष अंग्रेजी की हैं

गणना:

कुल परिणाम = 9!/(2! × 4! × 3!) = 1260

सभी अंग्रेजी पुस्तकों को एक इकाई मानते हुए, यहाँ 2 भौतिकी, 4 रसायन विज्ञान और 1 इकाई अंग्रेजी की है = 7

⇒ अब हम सभी को 7!/(2! × 4!) = 105 के रूप में व्यवस्थित करते हैं

∴ आवश्यक प्रायिकता = 105/1260 = 1/12

दिया गया है:

चार पासे फेंके जाते हैं।

प्रत्येक पासे में 6 फलक हैं (1 से 6 तक गिने गए)।

हमें उन संभावित परिणामों की संख्या की गणना करने की आवश्यकता है जहाँ कम से कम एक पासे पर संख्या 2 दिखाई देती है।

प्रयुक्त सूत्र:

कुल संभावित परिणाम = 6ⁿ, जहाँ n पासों की संख्या है।

ऐसे परिणामों की संख्या जहाँ कोई भी पासे पर 2 नहीं दिखाई देता = 5ⁿ, जहाँ n पासों की संख्या है (क्योंकि प्रत्येक पासे में 2 के अलावा 5 शेष फलक हैं)।

ऐसे परिणामों की संख्या जहाँ कम से कम एक पासे पर 2 दिखाई देता है = कुल संभावित परिणाम - ऐसे परिणामों की संख्या जहाँ कोई भी पासे पर 2 नहीं दिखाई देता।

गणना:

कुल संभावित परिणाम = 6⁴

⇒ 6 × 6 × 6 × 6

⇒ 1296

ऐसे परिणामों की संख्या जहाँ कोई भी पासे पर 2 नहीं दिखाई देता = 5⁴

⇒ 5 × 5 × 5 × 5

⇒ 625

ऐसे परिणामों की संख्या जहाँ कम से कम एक पासे पर 2 दिखाई देता है = कुल संभावित परिणाम - ऐसे परिणामों की संख्या जहाँ कोई भी पासे पर 2 नहीं दिखाई देता

⇒ 1296 - 625

⇒ 671

ऐसे परिणामों की संख्या जहाँ कम से कम एक पासे पर 2 दिखाई देता है, 671 है।

दिया गया है:

कुल कार्डों की संख्या = 52

लाल बादशाहों की संख्या = 2

लाल रानियों की संख्या = 2

दो कार्ड एक के बाद एक बिना प्रतिस्थापन के निकाले जाते हैं।

प्रयुक्त सूत्र:

प्रायिकता = (अनुकूल परिणाम) / (कुल परिणाम)

गणना:

52 कार्डों में से 2 कार्ड निकालने के कुल तरीके:

कुल परिणाम = 52C2

52C2 = \(\frac{52 × 51}{2}\)

⇒ 52C2 = 1326

एक लाल बादशाह और एक लाल रानी प्राप्त करने के अनुकूल परिणाम:

1 लाल बादशाह चुनने के तरीके = 2C1 = 2

1 लाल रानी चुनने के तरीके = 2C1 = 2

चूँकि कार्ड एक के बाद एक बिना प्रतिस्थापन के निकाले जाते हैं, इसलिए अनुकूल परिणाम = 2 × 2 = 4

प्रायिकता = अनुकूल परिणाम / कुल परिणाम

⇒ प्रायिकता = 4 / 1326

⇒ प्रायिकता = 2 / 663

कार्डों में एक लाल बादशाह और एक लाल रानी होने की प्रायिकता 2/663 है।

अवधारणा:

संभावना = परिणामों की संभावित संख्या/परिणामों की कुल संख्या 

गणना:

परिणामों की कुल संख्या = 12

परिणामों की संभावित संख्या = 2 या 3 के गुणज के रूप में संख्या रखने वाले टिकटों की संख्या  = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12} = 8

∴ संभावना = 8/12 = 2/3

अतः, अभीष्ट संभावना \(\frac{2}{3}\) है। 

3 विद्यार्थियों की प्रायिकता,

P(A) = 1/2, P(A̅) = 1/2

P(B) = 1/3, P(B̅) = 2/3

P(C) = 1/4, P(C̅) = 3/4

अत:, किसी के द्वारा प्रश्न हल न करने की प्रायिकता है = \(\frac 1 2 \times \frac 2 3 \times \frac 3 4\) = 1/4

⇒ P(कोई भी नहीं) = 1/4

इसलिए, प्रश्न को हल करने की प्रायिकता है = 1 - 1/4 = 3/4

अतः, सही उत्तर "3/4" है।

प्रयुक्त अवधारणा:

हुकुम के पत्तों की कुल संख्या = 13

ईंट के पत्तों की कुल संख्या = 13

प्रयुक्त सूत्र:

P = अनुकूल परिणाम/कुल परिणाम

गणना:

कुल परिणाम = ⁵²C₂ = \(52!\over{(52-2)!2!}\) = \(52 × 51\over 2\) = 1326

अनुकूल परिणाम = ¹³C₁ × 13C1

= 13 × 13 = 169

∴ अभीष्ट प्रायिकता = 169/1326 = 13/102

दिया गया है:

अनुकूल परिणाम एक पासे पर 2 का गुणज और दूसरे पासे पर 3 का गुणज है।

प्रयुक्त अवधारणा:

जब दो पासों को फेंका जाता है तो कुल परिणाम = 6 × 6 = 36

प्रायिकता = अनुकूल परिणाम / कुल परिणाम

व्याख्या:

अनुकूल परिणाम = (2,3), (4,3), (6,3), (2,6), (4,6), (6,6),

(3,2), (3,4), (3,6), (6,2), (6,4) = 11

कुल परिणाम = 6 × 6 = 36

∴ प्रायिकता = 11/36

उछाले गए सिक्कों की संख्या = 4

दिया गया है:

एक पासा 3 के गुणक दर्शाता है।

अन्य पासा सम संख्या दर्शाता है।

अवधारणा:

दो पासे में कुल परिणामों की संख्या 36 है।

प्रयुक्त सूत्र:

P = अनुकूल परिणाम/कुल परिणाम

गणना:
केवल ऐसी 6 स्थितियों की आवश्यकता है,

(3,2), (3,4) (3,6) (6,2) (6,4) (6,6)

अभीष्ट प्रायिकता = 6/36 = 1/6

∴ प्रायिकता 1/6 है।

दिया हुआ

सीता द्वारा परीक्षा पास करने की संभावना = 60% = 60/100

गीता द्वारा परीक्षा पास करने की संभावना = 40% = 40/100

मीता द्वारा परीक्षा पास करने की संभावना = 20% = 20/100

सूत्र

A की नहीं होने की संभावना = 1 - A की होने की संभावना

A और B की होने की संभावना = A की होने की संभावना × B की होने की संभावना

गणना

मीता द्वारा परीक्षा पास न करने की संभावना = 1 - मीता द्वारा परीक्षा पास करने की संभावना

= 1 - (20/100)

= 80/100

अब,

सीता और गीता द्वारा परीक्षा पास करने की संभावना और मीता द्वारा परीक्षा पास न करने की संभावना = सीता द्वारा परीक्षा पास करने की संभावना × गीता द्वारा परीक्षा पास करने की संभावना × मीता द्वारा परीक्षा पास न करने की संभावना

= (60/100) × (40/100) × (80/100)

= 192/1000

= (192/10)%

= 19.2%

दिया गया है 

काली गेंदों की संख्या = 5

सफेद गेंदों की संख्या = 6

सूत्र

प्रायिकता = अनुकूल घटनायें/कुल संभावित घटनायें 

गणना

अनुकूल घटना = 6C2

कुल संभावित घटनायें = 11C2

∴ प्रायिकता = 6C2/11C2 = (6 × 5)/(11 × 10) = 3/11

दिया गया है:

तीन सिक्कों को एकसाथ उछाला जाता है।

सूत्र:

प्रायिकता = अनुकूल परिणामों की संख्या/परिणामों की कुल संख्या

गणना:  

जब तीन सिक्कों को उछाला जाता है तो परिणाम इनमें से कोई एक संयोजन होगा:

(TTT, THT, TTH, THH. HTT, HHT, HTH, HHH)

इसलिए, परिणामों की कुल संख्या 8 है।

अब, ठीक दो चित के लिए, अनुकूल परिणाम (THH, HHT, HTH) हैं। 

हम कह सकते हैं कि अनुकूल परिणामों की कुल संख्या 3 है।

पुनः, सूत्र से

प्रायिकता = अनुकूल परिणामों की संख्या/परिणामों की कुल संख्या

प्रायिकता = 3/8

∴ ठीक दो चित आने की प्रायिकता 3/8 है।

गणना:

एक पासे में भाज्य संख्या की संख्या है: (4 और 6)

⇒ एक पासे में भाज्य संख्या की प्रायिकता = 2/6 = 1/3

⇒ एक पासे में अभाज्य संख्या की संख्या है: = 2, 3 और 5

⇒ एक पासे में अभाज्य संख्या की प्रायिकता = 3/6 = 1/2

∴ पहली फेंक पर एक भाज्य संख्या और दूसरी फेंक पर एक अभाज्य संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता = 1/2 × 1/3 = 1/6

दिया है:

निराधार पासों की संख्या = 2

अवधारणा:

प्रायिकता (घटना) = अनुकूल परिणामों की संख्या / कुल परिणाम

गणना:

पासे के एक जोड़े को घुमाने के तरीकों की संख्या = 6 × 6 = 36

माना E = 5 से अधिक राशि प्राप्त करने की घटना = {(1, 6), (1, 5), (2, 6),(2, 5), (2, 4), (3, 6), (3, 5), (3, 4), (3, 3), (4, 6), (4, 5), (4, 4), (4, 3), (4, 2), (5, 6), (5, 5),(5, 4), (5, 3), (5, 2), (5, 1), (6, 6), (6, 5), (6, 4), (6, 3), (6, 2), (6,1)}

n(E) = 26

⇒ अभीष्ट प्रायिकता = 26/36 = 13/18

⇒ राशि 5 से अधिक प्राप्त करने की प्रायिकता = 13/18

दिया है:

निराधार पासों की संख्या = 2

अवधारणा:

प्रायिकता (घटना) = 1 - (अनुकूल परिणामों की संख्या / कुल परिणाम)

राशि 5 से अधिक प्राप्त करने की प्रायिकता = 1 - (5 से कम या उसके बराबर राशि प्राप्त करने की प्रायिकता)

गणना:

पासे के एक जोड़े को घुमाने के तरीकों की संख्या = 6 × 6 = 36

माना F = 5 से कम या उसके बराबर राशि प्राप्त करने की प्रायिकता = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (4,1)}

n(F) = 10

⇒ अभीष्ट प्रायिकता = 1 - (10/36) = 1 - (5/18) = 13/18

∴ राशि 5 से अधिक प्राप्त करने की प्रायिकता = 13/18

Important Points

जब हमारे पास घटना (ई) की स्थिति में 26 की तरह बड़ी संख्या होती है तो हम गैर-अनुकूल परिणाम की गणना करते हैं(अभिवादन घटना अर्थात 1 - अनुकूल घटना)

Mistake Points

इस प्रश्न में, हमें उन स्थितियों से बचना होगा, जिनमें अंकों का योग पाँच के बराबर होता है जैसे {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4,1)}

Additional Information

दोनों पासों के लिए संभावनाएं