Sequences and Series MCQ Quiz in मल्याळम - Objective Question with Answer for Sequences and Series - സൗജന്യ PDF ഡൗൺലോഡ് ചെയ്യുക

ആശയം:

ഗുണോത്തര ശ്രേണി  (GP): ഓരോ പദവും മുൻ പദത്തെ പൊതു അനുപാതം എന്ന് വിളിക്കുന്ന ഒരു സ്ഥിരാങ്കം കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ ലഭിക്കുന്ന ഒരു ശ്രേണി.

GP യുടെ n പദങ്ങളുടെ (S _n ) ആകെത്തുക നൽകുന്നത്: \( S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1} \)

• a: GP യുടെ ആദ്യപദം 
• r: GP യുടെ പൊതു അനുപാതം
• n: ശ്രേണിയിലെ പദങ്ങളുടെ എണ്ണം

കണക്കുകൂട്ടല്‍:

നൽകിയിരിക്കുന്നു, f(1) = 3

സവിശേഷത ഉപയോഗിച്ച്: \( f(x + y) = f(x) \times f(y) \)

⇒ f(2) = f(1 + 1) = f(1) × f(1) = 3 × 3 = 9

⇒ f(3) = f(1 + 2) = f(1) × f(2) = 3 × 9 = 27

⇒ f(4) = f(1 + 3) = f(1) × f(3) = 3 × 27 = 81

അപ്പോൾ, \( f(1), f(2), f(3), \dots \) ​​= 3, 9, 27, 81, … a = 3 ഉം r = 3 ഉം ഉള്ള ഒരു GP രൂപപ്പെടുത്തുന്നു.

നൽകിയിരിക്കുന്നത്, \( \sum_{x=1}^{n} f(x) = 120 \)

⇒ \( S_n = \frac{3(3^n - 1)}{3 - 1} \)

⇒ \( 120 = \frac{3(3^n - 1)}{2} \)

⇒ \( 120 = \frac{3}{2}(3^n - 1) \)

⇒ \( 240 = 3(3^n - 1) \)

⇒ \( 80 = 3^n - 1 \)

⇒ \( 3^n = 81 \)

⇒ \( 3^n = 3^4 \Rightarrow n = 4 \)

∴ n ന്റെ മൂല്യം 4 ആണ്.

ഇവിടെ, n = 15; a = 5 ഉം ആകെത്തുക = 390 ഉം

പൊതു വ്യത്യാസം കണ്ടെത്താൻ ആകെത്തുക സൂത്രവാക്യം പ്രയോഗിക്കുമ്പോൾ,

⇒ \(390 = \frac{{15}}{2}\left[ {2 \times 5 + 14d} \right] = 15 \times \left( {5 + 7d} \right)\)

⇒ 5 + 7d = 26

⇒ d = 3

∴ മധ്യപദം = 8-ആം പദം = a + 7d = 5 + 21 = 26

ആശയം :

ഒരു AP യുടെ ആദ്യ പദം a ഉം പൊതു വ്യത്യാസം d ഉം ആണെങ്കിൽ. അപ്പോൾ 

ഒരു AP യുടെ ഒമ്പതാമത്തെ പദം നൽകുന്നത്:

a _n = a + (n - 1) × d

കണക്കുകൂട്ടല്‍ :

നൽകിയിരിക്കുന്നത്: രണ്ട് AP കളുടെ n- ാമത്തെ പദങ്ങൾ 3n + 8 ഉം 7n + 15 ഉം ആണ്.

ഇവിടെ, അവയുടെ 12-ആം പദങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള അനുപാതം കണ്ടെത്തണം.

അപ്പോൾ, ഒന്നാം AP യിലെ 12 -ാം പദം 

(T12)1 = 3 × 12 + 8

⇒ (T12)1  = 36 + 8 = 44

⇒ (T12)1  = 44     ---(1)

അതുപോലെ, രണ്ടാം  AP യിലെ 12 -ാം പദം 

⇒ (T12)2 = 7 × 12 + 15

⇒ (T12)2 = 84 + 15 = 99   

⇒ (T12)2 = 99   ----(2)

∴ ആവശ്യമായ അനുപാതം = 44/99 = 4/9 = 4 ∶ 9

ആശയം :

ഒരു AP യുടെ ആദ്യ പദം a ഉം പൊതു വ്യത്യാസം d ഉം ആണെങ്കിൽ. അപ്പോൾ 

ഒരു AP യുടെ ഒമ്പതാമത്തെ പദം നൽകുന്നത്:

a _n = a + (n - 1) × d

കണക്കുകൂട്ടല്‍ :

നൽകിയിരിക്കുന്നത്: രണ്ട് AP കളുടെ n- ാമത്തെ പദങ്ങൾ 3n + 8 ഉം 7n + 15 ഉം ആണ്.

ഇവിടെ, അവയുടെ 12-ആം പദങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള അനുപാതം കണ്ടെത്തണം.

അപ്പോൾ, ഒന്നാം AP യിലെ 12 -ാം പദം 

(T12)1 = 3 × 12 + 8

⇒ (T12)1  = 36 + 8 = 44

⇒ (T12)1  = 44     ---(1)

അതുപോലെ, രണ്ടാം  AP യിലെ 12 -ാം പദം 

⇒ (T12)2 = 7 × 12 + 15

⇒ (T12)2 = 84 + 15 = 99   

⇒ (T12)2 = 99   ----(2)

∴ ആവശ്യമായ അനുപാതം = 44/99 = 4/9 = 4 ∶ 9

ഇവിടെ, n = 15; a = 5 ഉം ആകെത്തുക = 390 ഉം

പൊതു വ്യത്യാസം കണ്ടെത്താൻ ആകെത്തുക സൂത്രവാക്യം പ്രയോഗിക്കുമ്പോൾ,

⇒ \(390 = \frac{{15}}{2}\left[ {2 \times 5 + 14d} \right] = 15 \times \left( {5 + 7d} \right)\)

⇒ 5 + 7d = 26

⇒ d = 3

∴ മധ്യപദം = 8-ആം പദം = a + 7d = 5 + 21 = 26

ആശയം :

ഒരു AP യുടെ ആദ്യ പദം a ഉം പൊതു വ്യത്യാസം d ഉം ആണെങ്കിൽ. അപ്പോൾ 

ഒരു AP യുടെ ഒമ്പതാമത്തെ പദം നൽകുന്നത്:

a _n = a + (n - 1) × d

കണക്കുകൂട്ടല്‍ :

നൽകിയിരിക്കുന്നത്: രണ്ട് AP കളുടെ n- ാമത്തെ പദങ്ങൾ 3n + 8 ഉം 7n + 15 ഉം ആണ്.

ഇവിടെ, അവയുടെ 12-ആം പദങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള അനുപാതം കണ്ടെത്തണം.

അപ്പോൾ, ഒന്നാം AP യിലെ 12 -ാം പദം 

(T12)1 = 3 × 12 + 8

⇒ (T12)1  = 36 + 8 = 44

⇒ (T12)1  = 44     ---(1)

അതുപോലെ, രണ്ടാം  AP യിലെ 12 -ാം പദം 

⇒ (T12)2 = 7 × 12 + 15

⇒ (T12)2 = 84 + 15 = 99   

⇒ (T12)2 = 99   ----(2)

∴ ആവശ്യമായ അനുപാതം = 44/99 = 4/9 = 4 ∶ 9

ഇവിടെ, n = 15; a = 5 ഉം ആകെത്തുക = 390 ഉം

പൊതു വ്യത്യാസം കണ്ടെത്താൻ ആകെത്തുക സൂത്രവാക്യം പ്രയോഗിക്കുമ്പോൾ,

⇒ \(390 = \frac{{15}}{2}\left[ {2 \times 5 + 14d} \right] = 15 \times \left( {5 + 7d} \right)\)

⇒ 5 + 7d = 26

⇒ d = 3

∴ മധ്യപദം = 8-ആം പദം = a + 7d = 5 + 21 = 26

ആശയം:

ഗുണോത്തര ശ്രേണി  (GP): ഓരോ പദവും മുൻ പദത്തെ പൊതു അനുപാതം എന്ന് വിളിക്കുന്ന ഒരു സ്ഥിരാങ്കം കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ ലഭിക്കുന്ന ഒരു ശ്രേണി.

GP യുടെ n പദങ്ങളുടെ (S _n ) ആകെത്തുക നൽകുന്നത്: \( S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1} \)

• a: GP യുടെ ആദ്യപദം 
• r: GP യുടെ പൊതു അനുപാതം
• n: ശ്രേണിയിലെ പദങ്ങളുടെ എണ്ണം

കണക്കുകൂട്ടല്‍:

നൽകിയിരിക്കുന്നു, f(1) = 3

സവിശേഷത ഉപയോഗിച്ച്: \( f(x + y) = f(x) \times f(y) \)

⇒ f(2) = f(1 + 1) = f(1) × f(1) = 3 × 3 = 9

⇒ f(3) = f(1 + 2) = f(1) × f(2) = 3 × 9 = 27

⇒ f(4) = f(1 + 3) = f(1) × f(3) = 3 × 27 = 81

അപ്പോൾ, \( f(1), f(2), f(3), \dots \) ​​= 3, 9, 27, 81, … a = 3 ഉം r = 3 ഉം ഉള്ള ഒരു GP രൂപപ്പെടുത്തുന്നു.

നൽകിയിരിക്കുന്നത്, \( \sum_{x=1}^{n} f(x) = 120 \)

⇒ \( S_n = \frac{3(3^n - 1)}{3 - 1} \)

⇒ \( 120 = \frac{3(3^n - 1)}{2} \)

⇒ \( 120 = \frac{3}{2}(3^n - 1) \)

⇒ \( 240 = 3(3^n - 1) \)

⇒ \( 80 = 3^n - 1 \)

⇒ \( 3^n = 81 \)

⇒ \( 3^n = 3^4 \Rightarrow n = 4 \)

∴ n ന്റെ മൂല്യം 4 ആണ്.