Properties of Triangle MCQ Quiz in मराठी - Objective Question with Answer for Properties of Triangle - मोफत PDF डाउनलोड करा

दिलेले आहे:

एका समद्विभुज त्रिकोणाच्या तीन बाजूंची बेरीज = 20 सेमी

समान बाजू आणि पायाचे गुणोत्तर = 3 : 4

वापरलेले सूत्र:

पायथागोरसचे प्रमेय: a² + b² = c²

गणना:

समजा, बाजू 3x सेमी आणि पाया 4x सेमी आहे.

बाजूंची बेरीज: 3x + 3x + 4x = 20

⇒ 10x = 20

⇒ x = 2

अशाप्रकारे, समान बाजू 3 × 2 = 6 सेमी आणि पाया 4 × 2 = 8 सेमी आहेत.

एका समद्विभुज त्रिकोणात, उंची ही पायाला दुभागते.

अशाप्रकारे, पायाचा निम्मा भाग = 8 / 2 = 4 सेमी.

आता, एका काटकोन त्रिकोणात पायथागोरस प्रमेय वापरून:

उंची² + (4 सेमी)² = (6 सेमी)²

⇒ उंची² + 16 = 36

⇒ उंची² = 20

⇒ उंची = √20

⇒ उंची = 2√5 सेमी

त्रिकोणाची उंची 2√5 सेमी आहे.

दिलेले आहे:

∆ABC मध्ये, ∠A = 70° आणि ∠B = 70°.

वापरलेले सूत्र:

त्रिकोणाचा बहिर्कोन = 180° - अंतर्गत विरुद्ध कोन

गणना:

आपल्याला माहित आहे की, त्रिकोणातील अंतर्गत कोनांची बेरीज 180° असते.

म्हणून, ∠A + ∠B + ∠C = 180°

70° + 70° + ∠C = 180°

⇒ ∠C = 180° - 140°

⇒ ∠C = 40°

आता, A वरील बहिर्कोन हा दोन असंलग्न अंतर्गत कोनांच्या बेरजेइतका असतो, म्हणजेच, ∠B आणि ∠C.

A वरील बहिर्कोन = ∠B + ∠C

⇒ A वरील बहिर्कोन = 70° + 40°

⇒ A वरील बहिर्कोन = 110°

A वरील बहिर्कोनाचे माप 110° आहे.

दिलेल्याप्रमाणे:

∆PQR मध्ये, PQ = PR आणि PT ही QR वर लंब आहे.

PQ = 17 सेमी

PT = 15 सेमी

वापरलेले सूत्र:

समद्विभुज त्रिकोणातील शिरोबिंदू पासून पायावर काढलेले लंब पायाला समद्विभाजित करते.

त्रिकोण PTQ आणि PTR मध्ये पायथागोरस प्रमेय वापरून:

PQ² = PT² + QT²

QR = 2 × QT

गणना:

PQ = PR = 17 सेमी

∆PTQ मध्ये पायथागोरस प्रमेय वापरून:

PQ² = PT² + QT²

⇒ 17² = 15² + QT²

⇒ 289 = 225 + QT²

⇒ QT² = 289 - 225

⇒ QT² = 64

⇒ QT = 8 सेमी

QR = 2 × QT

⇒ QR = 2 × 8

⇒ QR = 16 सेमी

QR चे माप 16 सेमी आहे.

दिलेल्याप्रमाणे:

त्रिकोण ABC मध्ये, D हा BC चा मध्यबिंदू आहे.

DL ⊥ AB आणि DM ⊥ AC

DL = DM

वापरलेले सूत्र:

एका त्रिकोणातील, जर एका बाजूच्या मध्यबिंदूवरून इतर दोन बाजूंवर काढलेले लंब समान असतील, तर तो त्रिकोण समद्विभुज असतो.

गणना:

दिलेल्याप्रमाणे की DL = DM आणि D हा BC चा मध्यबिंदू आहे, याचा अर्थ असा की त्रिकोण ABD हा RHS (काटकोन-कर्ण-बाजू) एकरूपतेने त्रिकोण ACD शी एकरूप आहे.

त्रिकोण ABD ≅ त्रिकोण ACD असल्याने, याचा अर्थ AB = AC आहे.

म्हणून, त्रिकोण ABC हा समद्विभुज त्रिकोण आहे.

योग्य उत्तर पर्याय 1 आहे: समद्विभुज त्रिकोण

दिलेल्याप्रमाणे:

त्रिकोण ABC मध्ये, समीकरण आहे:

1/2 ∠A + ∠B + ∠C = 120°

आपल्याला 1/4 ∠A चे मूल्य शोधायचे आहे.

वापरलेले सूत्र:

त्रिकोणातील अंतर्गत कोनांची बेरीज नेहमीच 180° असते:

∠A + ∠B + ∠C = 180°

गणना:

दिलेल्या समीकरणापासून:

1/2 ∠A + ∠B + ∠C = 120°

∠B + ∠C = 180° - ∠A हे समीकरणात बदलून:

1/2 ∠A + (180° - ∠A) = 120°

⇒ 1/2 ∠A + 180° - ∠A = 120°

⇒ 180° - 1/2 ∠A = 120°

⇒ 1/2 ∠A = 180° - 120° = 60°

⇒ ∠A = 120°

आता, आपल्याला 1/4 ∠A शोधायचे आहे:

1/4 ∠A = 1/4 x 120° = 30°

म्हणूनच, 1/4 ∠A चे मूल्य 30° आहे.

दिलेले आहे:

ABC हा कोन B सह काटकोन त्रिकोण आहे, BC = 10 सेमी 

 AC = 12 सेमी, p ही बिंदु B पासून AC पर्यंतची लंब लांबी आहे.

वापरलेले सूत्र:

Δ चे क्षेत्रफळ = 1/2 × पाया × उंची

गणना:

Δ ABC मध्ये, पायथागोरस प्रमेय वापरून

AC² = AB² + BC²

144 = AB² + 100

AB² = 44

AB = √44

येथे, आपण दोन प्रकारे क्षेत्रफळ शोधू शकतो,

1) AC हा पाया आणि लांबी p हा लंब म्हणून घेऊन.

2) BC हा पाया आणि AB हा लंब म्हणून घेऊन.

जसे, (ΔABC) चे क्षेत्रफळ = (ΔABC) चे क्षेत्रफळ

⇒ 1/2 × 10 × √44 = 1/2 × 12 × p

⇒ 5 × 2√11 = 6p

⇒ p = (5√11)/3 सेमी

∴ योग्य उत्तर (5√11)/3 सेमी आहे

दिलेले आहे:

AB = 8.4 सेमी, आणि AC = 5.6 सेमी, DC = 2.8 सेमी

वापरलेली संकल्पना:

त्रिकोणाचा कोनदुभाजक संमुख बाजूला दोन भागांमध्ये विभागतो, जे त्रिकोणाच्या इतर दोन बाजूंशी प्रमाणशीर असतात.

गणना:

संकल्पनेनुसार,

AB/AC = BD/DC

⇒ 8.4/5.6 = BD/2.8

⇒ 8.4/2 = BD

⇒ 4.2 = BD

अशाप्रकारे, BD + DC = BC

BC = 4.2 + 2.8

⇒ 7 सेमी

∴ बाजू BC ची लांबी 7 सेमी असेल.

गणना: 

∠BAC = 72° 

कोन बेरीज गुणधर्मानुसार

दिलेले आहे:

CD हा ∠BCA चा दुभाजक आहे.

CD = DA

∠BDC = 76°

वापरलेली संकल्पना:

समद्विभुज त्रिकोणाचे दोन कोन, समान बाजूंच्या विरुद्ध, मोजमापाने समान असतात.

कोन बेरीज गुणधर्म = त्रिकोणाच्या तीनही कोनांची बेरीज 180° आहे.

गणना:

ABC त्रिकोणामध्ये,

CD हा ∠BCA चा दुभाजक आहे.

⇒ ∠BCD = ∠DCA = θ

पासून, CD = DA [दिलेले]

⇒ ∠DCA = ∠CAD = θ 

⇒ ∠BDC = 76°                    [दिलेले]

⇒ ∠BDC = ∠DCA + ∠CAD

⇒ θ + θ = 76° 

⇒ 2θ = 76° 

⇒ θ = 38° 

CBD त्रिकोणामध्ये,

∠BCD + ∠CDB + ∠CBD = 180° 

⇒ θ  + 76° + ∠CBD = 180° 

⇒ 38°  + 76° + ∠CBD = 180°  

⇒ ∠CBD = 180° - 114° 

⇒ ∠CBD = 66° 

∴ पर्याय 4 हे योग्य उत्तर आहे.

दिलेल्याप्रमाणे:  

AB = 10 सेमी, आणि AC = 14 सेमी

वापरलेली संकल्पना:

त्रिकोणाचा कोन दुभाजक विरुद्ध बाजूस त्रिकोणाच्या इतर दोन बाजूंच्या प्रमाणात दोन भागांमध्ये विभाजित करतो.

गणना:

संकल्पनेनुसार,

AB/AC = BD/DC

⇒ 10/14 = BD/DC

⇒ 5/7 = BD/DC

तर, BD : DC = 5 : 7

आता, BC = 5 + 7

⇒ 12

तर, BD : BC = 5 : 12

∴ आवश्यक उत्तर 5 : 12 आहे.

दिलेल्याप्रमाणे:

AB = 8 सेमी आणि AC = 17 सेमी असलेला काटकोन ABC

वापरलेली संकल्पना:

कर्ण² = लंब² + पाया² (पायथागोरस प्रमेय)

गणना:

⇒ दिलेल्या ABC त्रिकोणावर पायथागोरसचे प्रमेय लागू करणे

⇒ आपल्याला मिळेल, AC2 = AB2 + BC2 

⇒ 172 = 82 + BC2 

⇒ BC2 = 225

⇒ BC = 15

⇒ आता, वरील त्रिकोण ABC ला दोन काटकोन त्रिकोण BDA आणि BDC मध्ये विभागले जाऊ शकते.

⇒ AD = x आणि DC = 17 – x ची लांबी समजा

⇒ पायथागोरसचे प्रमेय आपल्याला मिळालेल्या दोन त्रिकोणांना लागू करणे,

⇒ AB2 = AD2 + BD2 आणि BC2 = DC2 + BD2 

⇒ वरील समीकरणावरून

⇒ AB2 – AD2 = BC2 – DC2

⇒ 82 – x2 = 152 – (17 –x)2

⇒ 64 – x2 = 225 – (289 + x2 – 34x)

⇒ 64 – 225 + 289 = 34x = 128 = 34x

⇒ x = AD = 3.76

म्हणून, AD ची लांबी 3.76 सेमी आहे.

दिलेल्याप्रमाणे:

AB = 10 सेमी, आणि AC = 14 सेमी

वापरलेली संकल्पना:

त्रिकोणाचा कोन दुभाजक विरुद्ध बाजूस त्रिकोणाच्या इतर दोन बाजूंच्या प्रमाणात दोन भागांमध्ये विभाजित करतो.

गणना:

संकल्पनेनुसार,

AB/AC = BD/DC

⇒ 10/14 = BD/DC

⇒ 5/7 = BD/DC

तर, BD : DC = 5 : 7

∴ आवश्यक उत्तर 5 : 7 आहे.

दिलेल्याप्रमाणे:

समभुज त्रिकोणाची बाजू 12 सेमी आहे.

वापरलेले सूत्र:

समभुज त्रिकोणाच्या त्रिज्या (r) चे सूत्र r = (a√3)/6 आहे, जेथे a ही समभुज त्रिकोणाच्या बाजूची लांबी आहे.

गणना:

समभुज त्रिकोणाच्या बाजूची लांबी 12 सेमी दिली आहे.

इंरेडियसचे सूत्र वापरून, आम्हाला मिळते:

r = (a√3)/6

r = (12√3)/6

r = 2√3 सेमी

म्हणून, समभुज त्रिकोणाच्या वर्तुळाची त्रिज्या 2√3 सेमी आहे.

दिलेले आहे:

समद्विभुज त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ ज्याचा पाया 54 सेमी लांब आहे आणि प्रत्येक समान बाजू 45 सेमी लांब आहे.

वापरलेला सूत्र:

समद्विभुज त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ = 1/2 × b × √a² – (b/2)²

गणना:

समद्विभुज त्रिकोणाच्या समान बाजू अनुक्रमे a सेमी आणि पाया b सेमी आहे असे समजा

प्रश्नानुसार

समद्विभुज त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ = 1/2 × b × √[a2 – (b/2)²]

⇒ 1/2 × 54 × √[45² – (54/2)²]

⇒ 27 × √2025 – (27)²

⇒ 27 × √(2025 – 729)

⇒ 27 × √1296

⇒ (27 × 36) सेमी²

⇒ 972 सेमी²

∴ आवश्यक क्षेत्र 972 चौरस सेमी आहे

दिलेल्याप्रमाणे:

ΔPQR मध्ये, PS ही त्रिकोणाची मध्यगा आहे. QR हा पाया आहे.

PQ चे मूल्य 20 सेमी आणि PS चे मूल्य 15 सेमी आणि SR चे मूल्य 10 सेमी आहे.

वापरलेले सूत्र:

अपोलोनियस प्रमेयानुसार,

PQ² + PR² = 2 (QS² + PS²)

गणना:

PR = x असू द्या, PS मध्यगा, म्हणून QS = SR

प्रमेयानुसार,

202 + x2 = 2 (152 + 102)

⇒ 400 + x2 = 2 × 325

⇒ x2. = 650 - 400

⇒ x2 = 250

⇒ x = 5√10 सेमी

PR चे मूल्य 5√10 सेमी आहे.