Engineering Mathematics MCQ Quiz in தமிழ் - Objective Question with Answer for Engineering Mathematics - இலவச PDF ஐப் பதிவிறக்கவும்

பின்வருமாறு,

 \(I = \smallint {e^x}\left\{ {f\left( x \right) + f'\left( x \right)} \right\}dx\)

\( = \smallint {e^x}f\left( x \right)dx + \smallint {e^x}f'\left( x \right)dx+C\)

தொகையீட்டின் மூலம் பகுதிகளை தீர்த்தால், நாம் பெறுவது

\( = \left\{ {{e^x}f\left( x \right) - \smallint f'\left( x \right){e^x}dx} \right\} + \smallint {e^x}f'\left( x \right)dx +C\)

\( = f\left( x \right).{e^x} +C\)

இங்கு C என்பது மாறிலி

இங்கு பயன்படுத்தப்படும் தர்க்கம்:

இரண்டு பகடைகளின் கூட்டுத்தொகை 10 எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. குறைந்தது ஒரு முறையாவது 5 என்ற எண் தோன்றியதற்கான நிகழ்தகவைக் கண்டுபிடிக்க, பின்வரும் படிகளைப் பின்பற்றவும்:

1. கூட்டுத்தொகை 10 ஆக இருக்கும் மொத்த விளைவுகளைக் கண்டறியவும்: $(x, y)$ (x, y) என்பது
   x + y = 10x + y = 10 எனில்:

   சாத்தியமான விளைவுகள்:

   எனவே, கூட்டுத்தொகை 10 ஆக இருக்கும் மொத்த விளைவுகள் 3.

   • (4, 6)
   • (5, 5)
   • (6, 4)

2. குறைந்தது ஒரு பகடையில் 5 என்ற எண் தோன்றும் சாதகமான விளைவுகளைக் கண்டறியவும்: குறைந்தது ஒரு பகடையில் 5 என்ற எண் தோன்றும் ஜோடிகள்:

   எனவே, சாதகமான விளைவுகள் 1.

   • (5, 5)

3. நிகழ்தகவைக் கணக்கிடவும்: கூட்டுத்தொகை 10 எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. குறைந்தது ஒரு பகடையில் 5 என்ற எண் தோன்றியதற்கான நிகழ்தகவு $P$ கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளது:

• P = சாதகமான விளைவுகளின் எண்ணிக்கை / மொத்த விளைவுகள் = 1 / 3

• எனவே, கூட்டுத்தொகை 10 எனக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. குறைந்தது ஒரு முறையாவது 5 என்ற எண் தோன்றியதற்கான நிகழ்தகவு 1/3.

கொடுக்கப்பட்டுள்ளவை:

A = (0, 0)

B = (3, 0)

C = (x, y)

D = (0, 5)

பயன்படுத்தப்பட்ட சூத்திரம்:

தொலைவு சூத்திரம் = \(\sqrt{(x2-x1)^2 + (y2- y1)^2}\)

செவ்வகம்: எதிர் பக்கங்கள் சமமாகவும் கோணங்கள் 90° ஆகவும் இருக்கும் ஒரு நாற்கரம் ஆகும். மூலைவிட்டங்களின் நீளம் சமமாக இருக்கும்.

கணக்கீடு: 

A = (0, 0)

B = (3, 0)

AB = \(\sqrt{(0 - 3)^2 + (0 - 0)^2}\)

⇒ AB = \(\sqrt{9}\)

B = (3, 0)

C = (x, y)

BC = \(\sqrt{(x - 3)^2 + (y - 0)^2}\)

⇒ BC = \(\sqrt{x^2 - 6x + 9} + y^2\)

C = (x, y)

D = (0, 5)

CD = \(\sqrt{(0 - x)^2 + (5 - y)^2}\)

⇒ CD = \(\sqrt{x^2 + 25 + y^2 - 10y}\)

A = (0, 0)

D = (0, 5)

AD = \(\sqrt{(0 -0)^2 + (5 - 0)^2}\)

⇒ AD = \(\sqrt{25}\)

A = (0, 0)

C = (x, y)

AC = \(\sqrt{(x - 0)^2 + (y - 0)^2}\)

⇒ AC = \(\sqrt{x^2 + y^2}\)

B = (3, 0)

D = (0, 5)

BD = \(\sqrt{(0 - 3)^2 + (5 - 0)^2}\)

⇒ BD = \(\sqrt{9 + 25}\)

⇒ BD = \(\sqrt{34}\)

இப்போது,

AB = DC

\(\sqrt{9}\) = \(\sqrt{x^2 + 25 + y^2 - 10y}\)

இரு பக்கங்களிலும் வர்க்கப்படுத்தினால் நாம் பெறுவது:

⇒ 9 = x² + 25 + y² - 10y   ..........(1)

AD = BC

\(\sqrt{25}\) = \(\sqrt{x^2 - 6x + 9} + y^2\)

இரு பக்கங்களிலும் வர்க்கப்படுத்தினால் நாம் பெறுவது:

⇒ 25 = x² - 6x + 9 + y²     ........(2)

AC = BD

\(\sqrt{34}\) = \(\sqrt{x^2 + y^2}\)

இரு பக்கங்களிலும் வர்க்கப்படுத்தினால் நாம் பெறுவது:

⇒ x² + y² = 34    ......(3)

சமன்பாடு (1) மற்றும் (3) ஆகியவற்றில் இருந்து நாம் பெறுவது 

⇒ 34 + 25 - 10y = 9

⇒ 59 - 9 = 10 y

⇒ 50 = 10y

⇒ y = 5

சமன்பாடு (2) மற்றும் (3) ஆகியவற்றில் இருந்து நாம் பெறுவது 

⇒ 9 + 34 -6x = 25

⇒ 43 - 6x = 25

⇒ -6x = 25 -43

⇒ -6x = -18

⇒ x = 3

x = 3, y = 5

∴ C இன் ஆயத்தொலைவுகள் = (x, y) = (3, 5)

கொடுக்கப்பட்டது:

n(A) = 285

n(B) = 195

n(U) = 500

n(A ∪ B) = 410

பயன்படுத்திய சூத்திரம்: 

n(A' ∪ B') = n(U) - n(A' B')

n( A ∪ B) ) = n(A) + n(B) -n(A B)

கணக்கீடு:

n( A ∪ B) ) = n(A) + n(B) -n(A B)

⇒ 410 = 285 + 195 - n(A B)

⇒ x = 70

n(A' ∪ B') = n(U) - n(A' B')

⇒ n (A' ∪ B') = 500 - 70
∴ n(A' ∪ B') = 430        

கருத்து:

A^₂ = I எனில், அணியானது  நேர்மாறாக இருக்கும்.

கணக்கீடு:

  A =\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} \alpha &\beta \\ \gamma &{ - \alpha } \end{array}} \right)\) ஆனது A² = I என்பது போன்றது

பின்னர் A^-1 உள்ளது.

A² = I என்று கொடுக்கப்பட்டுள்ளது

∴ A.A = I

\( \left( {\begin{array}{*{20}{c}} \alpha &\beta \\ \gamma &{ - \alpha } \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} \alpha &\beta \\ \gamma &{ - \alpha } \end{array}} \right)=\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1 &0 \\ 0 &{1 } \end{array}} \right)\)

\( \left( {\begin{array}{*{20}{c}} \alpha^2+\beta\gamma &0 \\0 &{ \gamma\beta+ \alpha^2 } \end{array}} \right)=\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1 &0 \\ 0 &{ 1 } \end{array}} \right)\)

எனவே அணிகள் சமம் மற்றும் தொடக்கநிலை உறுப்புகள் சமம்.

∴ α2 + βγ = 1

∴ 1 - α2  - βγ = 0 

கருத்து:

முகடு, இடைநிலை மற்றும் சராசரிக்கும் இடையே உள்ள தொடர்பு

முகடு = 3 ×இடைநிலை– 2 × சராசரி

கணக்கீடு:

கொடுக்கப்பட்டது

முகடு – இடைநிலை= 2

நமக்குத் தெரிந்தது

முகடு = 3 × இடைநிலை– 2 × சராசரி

இப்போது, முகடு = இடைநிலை+ 2

⇒ (2 + இடைநிலை) = இடைநிலை– 2சராசரி  

⇒ 2இடைநிலை- 2சராசரி = 2

⇒ இடைநிலை- சராசரி= 1

ஒரு பையில் 3 வெள்ளை, 2 நீலம் மற்றும் 5 சிவப்பு பந்துகள் உள்ளன.

மொத்த பந்துகளின் எண்ணிக்கை = 3 + 2 + 5 = 10

சிவப்பு இல்லாத பந்துகளின் எண்ணிக்கை = 10 - 5 = 5

விளக்கம்:

A, B மற்றும் C ஆகியவை அணிகள் a, b, c ஆகியவை திசையிலிகளாக இருக்கட்டும் மற்றும் அணிகளின்  அளவுகள் செயல்பாடுகளைச் செய்யக்கூடியதாக இருக்கட்டும்.

அணிகளின்  பெருக்கலின் பண்புகள்:

அணிகளின் பெருக்கலின் சேர்ப்பு பண்பு:

• A(BC) = (AB)C

பெருக்கலின் பரிமாற்றபண்பு:

• A(B + C) = AB + AC
• (A + B)C = AC + BC
• AIn = InA = A,  In என்பது பொருத்தமான அலகு அணி
• c(AB)= (cA)B = A(cB)

குறிப்பு: பொதுவாக AB ≠ BA, அதாவது அணி சதுரமாக இருந்தாலும், அதே வரிசையில் இருந்தாலும், அணிகளின் பெருக்கல் மாற்றத்தக்கது அல்ல.

அணிகளின் கூட்டல் மற்றும் திசையிலி பெருக்கல் பண்புகள்:

கூட்டலின் பரிமாற்றபண்பு

• A + B = B + A

கூட்டலின் சேர்ப்பு பண்பு

• A + (B + C) = (A + B) + C
• A + O = O + A இதில் O என்பது பொருத்தமான பூஜ்ஜிய அணி

கூட்டலின் பங்கீட்டு பண்பு

• c(A + B) = cA + cB
• (a + b)C = aC + bC
• (ab)C = a(bc)

கருத்து:

நிரை நிரல் மாற்று அணி: \(A_{m×{n}}\) என்ற அணியிலிருந்து அதன் வரிசைகளை நெடுவரிசைகளாகவும் அதன் நெடுவரிசைகளை வரிசைகளாகவும் மாற்றுவதன் மூலம் \(B_{n×{m}}\) என்ற அணி உருவாகுமெனில், அணி \(B_{n×{m}}\)  என்பது  A இன் நிரை நிரல் மாற்று அணி என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் A^T அல்லது A¹ ஆல் குறிக்கப்படுகிறது.

அணியின் பெருக்கல்: A = (aij) என்பது m × n வரிசையின் அணியாகவும், B என்பது n × p வரிசையின் அணியாகவும் இருந்தால், அவற்றின் பெருக்கலுக்கு பின் m × p.

நேர்மாறு அணி : சதுர அணிக்கு மட்டுமே உள்ளது.

கணக்கீடு:

கொடுக்கப்பட்ட,

P3×2, Q3×4, மற்றும் R3×4  

PT = P2×3

QT = Q4×3

Then, [Q(PTR)-1QT] = Q3× 4{[P2×3 × R3×4]-1Q4×3}

[Q(PTR)-1QT] = Q3×4 {(PR)2× 4}-1Q4×3

∵ [(PR)2× 4]  ஒரு சதுர அணி அல்ல, எனவே அதன் நேர்மாறு  வரையறுக்கப்படவில்லை.

எனவே, அணியின் மேலே உள்ள வரிசையிலிருந்து இது வரையறுக்கப்படாத அணி என்று நாம் முடிவு செய்யலாம்.

கருத்து :

நிகழ்தகவு கோட்பாட்டில், ஒரு நிகழ்வின் நிகழ்தகவு அளவீடு, மற்றொரு நிகழ்வு ஏற்கனவே நிகழ்ந்திருந்தால், அது நிபந்தனை நிகழ்தகவு என குறிப்பிடப்படுகிறது.

நிபந்தனை நிகழ்தகவைக் கணக்கிடுவதற்கு, முந்தைய நிகழ்வின் நிகழ்தகவு மற்றும் அடுத்த நிகழ்வின் நிகழ்தகவு பெருக்கப்படுகிறது.

நிபந்தனை நிகழ்தகவு மூலம் வழங்கப்படுகிறது

\(P\left( {{E_1}/{E_2}} \right) = \frac{{P\left( {{E_1} \cap {E_2}} \right)}}{{P\left( {{E_2}} \right)}}\)

\(P\left( {{E_2}/{E_1}} \right) = \frac{{P\left( {{E_1} \cap {E_2}} \right)}}{{P\left( {{E_1}} \right)}}\)

E1 மற்றும் E2 ஆகியவை நிகழ்வுகளாகும்.

கணக்கீடு:

கொடுக்கப்பட்டது:

கலசத்தில் 5 சிவப்பு பந்துகள், 5 கருப்பு பந்துகள் உள்ளன.

ஒரு பந்து சீரற்ற முறையில் எடுக்கப்படுகிறது.

நிலை (i): முதல் பந்து சிவப்பு பந்து

இரண்டாவது டிராவில் சிவப்பு பந்தைப் பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு

\({P_1} = \frac{5}{{10}} \times \frac{4}{9} = \frac{2}{9}\)

நிலை (ii): முதல் பந்து கருப்பு பந்து

இரண்டாவது டிராவில் சிவப்பு பந்தைப் பெறுவதற்கான நிகழ்தகவு

\({P_2} = \frac{5}{{10}} \times \frac{5}{9} = \frac{5}{{18}}\)

தேவையான நிகழ்தகவு (P) \(= {P_1} + {P_2} = \frac{2}{9} + \frac{5}{{18}} = \frac{1}{2}\)

கோட்பாடு:

கொடுக்கப்பட்டுள்ள தரவின்படி,

9, 5, 8, 9, 9, 7, 8, 9, 8

எண்களை எண்வரிசையில் அமைத்தல் 

5, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9

இதில் ஒற்றை எண்கள் இருப்பதால் மைய எண் என்பது கொடுக்கப்பட்ட தரவின் இடைநிலை ஆகும் 

⇒ இடைநிலை = 8

பெரும்பாலும் தோன்றும் மதிப்பு முகடாகக் கருதப்படுகிறது, 9 என்ற எண் 4 முறை திரும்பத் திரும்ப வருவதால்,

⇒ முகடு = 9

சராசரி = (9 + 5 + 8 + 9 + 9 + 7 + 8 + 9 + 8)/9 = 8

∴ இடைநிலை, முகடு மற்றும் சராசரி = (8, 9, 8)

கருத்து:

ஒரு சதுர அணியின் அணிக்கோவை பூஜ்ஜியமற்றதாக இருந்தால் அது பூஜ்ஜியமற்ற அணிக்கோவை

\({\rm{A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\rm{a}}_{11}}}&{{{\rm{a}}_{12}}}\\ {{{\rm{a}}_{21}}}&{{{\rm{a}}_{22}}} \end{array}} \right]\) மற்றும் A-அணிக்கோவை கொடுக்கப்பட்டது: |A| = (a11 × a22) – (a12 – a21).

\({{\rm{A}}^{ - 1}} = {\rm{\;}}\frac{{{\rm{Adj\;}}\left( {\rm{A}} \right)}}{{\left| {\rm{A}} \right|}}\)

குறிப்பு:

2 × 2 அணிக்கு,

A = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\rm{a}}&{\rm{b}}\\ {\rm{c}}&{\rm{d}} \end{array}} \right]\)என்று எடுங்கள்

 Adj A =\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\rm{d}}&{ - {\rm{b}}}\\ { - {\rm{c}}}&{\rm{a}} \end{array}} \right]\)

குறிப்பு: மூலைவிட்ட உறுப்புகளை மாற்றி, மீதமுள்ள உறுப்புகளின் அடையாளத்தை மாற்றவும்.

கணக்கீடு:

\({\rm{A\;}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1\\ 1&1 \end{array}} \right]\)எடுங்கள் மற்றும்,

\({\rm{B\;}} = {\rm{\;}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1\\ 1&2 \end{array}} \right]\)

இப்போது,

 \({\rm{A}} + {\rm{B}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1\\ 1&1 \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1\\ 1&2 \end{array}} \right] = {\rm{\;}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 4&2\\ 2&3 \end{array}} \right]{\rm{\;}}\)

\({\rm{A\;}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1\\ 1&1 \end{array}} \right]\)

⇒ det A = (2 – 1) = 1

\({\rm{B\;}} = {\rm{\;}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1\\ 1&2 \end{array}} \right]\)

⇒ det B = (4 – 1) = 3

det A + det B = 1 + 3 = 4

\({\rm{A}} + {\rm{B}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 4&2\\ 2&3 \end{array}} \right]\)

⇒ det (A + B) = (12 – 4) = 8

∴ det (A+ B) ≠  det A + det B

1 வது அறிக்கை தவறானது.

2 × 2 அணிக்கு, மூலைவிட்ட உறுப்புகளை மாற்றி, மீதமுள்ள உறுப்புகளின் அடையாளத்தை மாற்றினால், நேர்மாறு அணி கிடைக்கும் என்பதை நாம் அறிவோம்.

\({\rm{adj\;}}\left( {\rm{A}} \right){\rm{\;}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}\\ { - 1}&2 \end{array}} \right]\)

\({\rm{adj\;}}\left( {\rm{B}} \right){\rm{\;}} = {\rm{\;}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 1}\\ { - 1}&2 \end{array}} \right]\)

\({\rm{adj\;}}\left( {{\rm{A}} + {\rm{B}}} \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 3&2\\ 2&4 \end{array}} \right]\)

நமக்கு தெரியும், \({{\rm{A}}^{ - 1}} = {\rm{\;}}\frac{{{\rm{Adj\;}}\left( {\rm{A}} \right)}}{{\left| {\rm{A}} \right|}}\)

\( \Rightarrow {{\rm{A}}^{ - 1}} = {\rm{\;}}\frac{{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}\\ { - 1}&2 \end{array}} \right]}}{1} = {\rm{\;}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}\\ { - 1}&2 \end{array}} \right]\)

\( \Rightarrow {{\rm{B}}^{ - 1}} = {\rm{\;}}\frac{{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 1}\\ { - 1}&2 \end{array}} \right]}}{3} = {\rm{\;}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{2}{3}}&{ - \frac{1}{3}}\\ { - \frac{1}{3}}&{\frac{2}{3}} \end{array}} \right]\)

இப்போது,

\({{\rm{A}}^{ - 1}} + {\rm{\;}}{{\rm{B}}^{ - 1}} = {\rm{\;}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}\\ { - 1}&2 \end{array}} \right] + {\rm{\;}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{2}{3}}&{ - \frac{1}{3}}\\ { - \frac{1}{3}}&{\frac{2}{3}} \end{array}} \right] = {\rm{\;}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{5}{3}}&{ - \frac{4}{3}}\\ { - \frac{4}{3}}&{\frac{8}{3}} \end{array}} \right]\)

\({\left( {{\rm{A}} + {\rm{B}}} \right)^{ - 1}} = {\rm{\;}}\frac{{{\rm{adj\;}}\left( {{\rm{A}} + {\rm{B}}} \right)}}{{\det \left( {{\rm{A}} + {\rm{B}}} \right)}} = {\rm{\;}}\frac{{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 4&2\\ 2&3 \end{array}} \right]}}{8} = {\rm{\;}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{4}{8}}&{\frac{2}{8}}\\ {\frac{2}{8}}&{\frac{3}{8}} \end{array}} \right] = {\rm{\;}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{2}}&{\frac{1}{4}}\\ {\frac{1}{4}}&{\frac{3}{8}} \end{array}} \right]\)

∴ (A + B)-1 ≠ A-1 + B-1

2வது அறிக்கை தவறானது.

கொடுக்கப்பட்ட,

கொடுக்கப்பட்ட AP 13, 11, 9……

சூத்திரம்:

T_nt = a + (n – 1)d

a = முதல் உறுப்பு 

d = பொதுவான உறுப்பு 

கணக்கீடு:

a = 13

d = 11 – 13

d = (-2)

T50 = 13 + (50 – 1) × (-2)

⇒ T50 = 13 + 49 × (-2)

⇒ T50 = 13 – 98

∴ T50 = -85

கருத்து:

ω என்பது ஒன்றின் கன படிமூலமாக இருந்தால் அதாவது ω3 = 1

பின்னர் 1 + ω + ω2 = 0.

ω4 = ω3ω = ω [∵ ω3 =1]

கணக்கீடு:

கொடுக்கப்பட்டது:

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {x + 1}&ω &{{ω ^2}}\\ ω &{x + {ω ^2}}&1\\ {{ω ^2}}&1&{x + ω } \end{array}} \right| = 0\)

C'1 = C1 + C2

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{x+1}+{ω}+{ω^2}}&ω &{{ω ^2}}\\ {{x+1}+{ω}+{ω^2}} &{x + {ω ^2}}&1\\ {{{x+1}+{ω}+{ω^2}}}&1&{x + ω } \end{array}} \right| = 0\)

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {x}&ω &{{ω ^2}}\\ {x} &{x + {ω ^2}}&1\\ {{x}}&1&{x + ω } \end{array}} \right| = 0\;\;\;(∵\;1+ω+ω^2=0)\)

R'2 = R2 - R1 and R'3 = R3 - R1

\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {x}&ω &{{ω ^2}}\\ {0} &{x + {ω ^2}-ω}&{1-ω^2}\\ {{0}}&1-ω&{x + ω -ω^2 } \end{array}} \right| = 0\)

முதல் நெடுவரிசையுடன் விரிவாக்க:

∴ x[(x + ω2 - ω)(x + ω - ω2) - (1 - ω)(1 - ω2)]

∴ x[x2 + ωx - ω2x + ω2x + ω3 - ω4 - ωx - ω2 + ω3 - 1 + ω2 + ω - ω3]

∴ x3 = 0      (∵ ω3 = 1 and ω4 = ω3ω ⇒ ω)

∴ x = 0.

கருத்து:

லாக்ரேஞ்சின் இடைமதிப்புத் தேற்றம்:

f(x) என்பது உண்மையான மதிப்புடைய செயல்பாடாக இருந்தால் -

• f(x) மூடிய இடைவெளியில் [a,b] தொடர்கிறது
• (f(x) என்பது திறந்த இடைவெளியில் வேறுபடக்கூடியது (a,b)
• f(a) ≠ f(b)

பின்னர் குறைந்தது ஒரு மதிப்பு x, c (a,b) உள்ளது -

\(f'\left( c \right) = \frac{{f\left( b \right) - f\left( a \right)}}{{b\; - \;a}}\)

வடிவியல் விளக்கம்:

• இரண்டு புள்ளிகள் a மற்றும் b இடையே, f(x) வரைபடத்தின் f(a) ≠ f(b) பின்னர் ஒரு புள்ளி உள்ளது, அங்கு தொடுகோடு  \(\overline {AB} \) நாண்-க்கு இணையாக இருக்கும்

விளக்கம்:

(a) வடிவியல் விளக்கங்கள் குறிப்பிடுவது சரி.

(b) தவறானது, x இன் ஒவ்வொரு மதிப்பிற்கும் f(x) ஒரே மதிப்பைக் கொண்டிருந்தால், அது f(a) ≠ f(b) ஐ மீறும்.