कोई कण R त्रिज्या वाले वृत्त में एकसमान चाल (constant speed) v से गति कर रहा है। जब यह आधे वृत्त को पार करता है तो समय के साथ इसका औसत त्वरण क्या है?

अवधारणा:

एक वृत्त में स्थिर गति से घूम रहे कण का त्वरण सदैव वृत्त के केंद्र की ओर निर्देशित होता है। इसे अभिकेंद्रीय त्वरण कहा जाता है, और इसका परिमाण \(a_c=\frac{v^2}{R}\) द्वारा दिया जाता है, जहां
v कण की गति है, और R वृत्त की त्रिज्या है।

कण को आधे वृत्त से आगे बढ़ने में लगने वाले समय के औसत त्वरण पर विचार करते समय, हमें वेग में परिवर्तन पर विचार करने की आवश्यकता है। चूँकि वेग एक सदिश है, हमें दिशा के बारे में भी सोचना होगा।

यदि कण की गति स्थिर है, तो वेग सदिश में एकमात्र परिवर्तन इसकी दिशा में होता है। आधे वृत्त पर वेग सदिश की दिशा 180° बदल जाती है।

वेग में परिवर्तन, Δv, का परिमाण मूल वेग के समान होगा, लेकिन विपरीत दिशा में। तो समय अंतराल T/2, जहां T वृत्ताकार गति की अवधि है, पर औसत त्वरण, a̅ है:

\(\bar a=\frac{\Delta v}{T/2}=\frac{2v}{T}\)

हम इस तथ्य का उपयोग करके T को v और R से जोड़ सकते हैं कि एक अवधि में तय की गई दूरी वृत्त की परिधि 2πR है:

लेकिन कण आधे वृत्त से अधिक गति करता है, इसलिए वृत्त की परिधि, πR:

\(T=\frac{\pi R}{v}\)

इसे वापस प्रतिस्थापित करने पर, हमारे पास है:

\(\bar a=\frac{2v}{\pi R/v}=\frac{2v^2}{\pi R}\)

तो उस समय का औसत त्वरण जब यह आधे वृत्त से आगे बढ़ता \(\bar a=\frac{2v^2}{\pi R}\)