Question
Download Solution PDFЁЭСШ ∈ тДХ рдХреЗ рд▓рд┐рдП, рдорд╛рди рд▓реАрдЬрд┐рдП рдХрд┐ ЁЭР╕ЁЭСШ, [0,1] рдХрд╛ рдПрдХ рдореЗрдп рдЙрдкрд╕рдореБрдЪреНрдЪрдп рд╣реИ рдЬрд┐рд╕рдХрд╛ рд▓реЗрдмреЗрдЧ рдорд╛рдк \(\rm \frac{1}{k^2}\) рд╣реИред рдкрд░рд┐рднрд╛рд╖рд┐рдд рдХреАрдЬрд┐рдП
\(\rm E=\cap_{n=1}^{\infty}\cup_{k=n}^{\infty}E_k\) рдФрд░ \(\rm F=\cup_{n=1}^{\infty}\cap_{k=n}^{\infty}E_k\)
рдирд┐рдореНрдирд▓рд┐рдЦрд┐рдд рдХрдердиреЛрдВ рдкрд░ рд╡рд┐рдЪрд╛рд░ рдХреАрдЬрд┐рдП:
ЁЭСГ: ЁЭР╕ рдХрд╛ рд▓реЗрдмреЗрдЧ рдорд╛рдк рд╢реВрдиреНрдп рдХреЗ рдмрд░рд╛рдмрд░ рд╣реИред
ЁЭСД: ЁЭР╣ рдХрд╛ рд▓реЗрдмреЗрдЧ рдорд╛рдк рд╢реВрдиреНрдп рдХреЗ рдмрд░рд╛рдмрд░ рд╣реИред
рддрдм
Answer (Detailed Solution Below)
Detailed Solution
Download Solution PDFрдЕрд╡рдзрд╛рд░рдгрд╛:
(i) \(\cap_{n=1}^{тИЮ}\cup_{k=n}^{тИЮ}E_k\) = \(\lim\sup E_k\) рдФрд░ \(\cup_{n=1}^{тИЮ}\cap_{k=n}^{тИЮ}E_k\)= \(\lim\inf E_k\)
(ii) рдпрджрд┐ {Ei} рдореЗрдп рд╕рдореБрдЪреНрдЪрдпреЛрдВ рдХрд╛ рдПрдХ рдЕрдиреБрдХреНрд░рдо рд╣реИ, \(m\left(\cup_{i=1}^{тИЮ}E_i\right)\) < ∞ рдФрд░ \(\lim E_i\) рдХрд╛ рдЕрд╕реНрддрд┐рддреНрд╡ рд╣реИ рддреЛ m(\(\lim E_i\)) = lim(m(Ei))
рд╡реНрдпрд╛рдЦреНрдпрд╛:
ЁЭСШ ∈ тДХ рдХреЗ рд▓рд┐рдП, ЁЭР╕ЁЭСШ , [0,1] рдХрд╛ рдПрдХ рдореЗрдп рдЙрдкрд╕рдореБрдЪреНрдЪрдп рд╣реИ рдЬрд┐рд╕рдХрд╛ рд▓реЗрдмреЗрдЧ рдорд╛рдк \(\rm \frac{1}{k^2}\) рд╣реИред
рдЕрдм, m(\(\lim_{k\to\infty} E_k\)) = \(\lim_{k\to\infty}\)(m(Ek)) = \(\lim_{k\to\infty}\)\(\rm \frac{1}{k^2}\) = 0
рдЗрд╕рд▓рд┐рдП, рдЙрдЪреНрдЪ рд╕реАрдорд╛ рдФрд░ рдирд┐рдореНрди рд╕реАрдорд╛ рджреЛрдиреЛрдВ 0 рдХреЗ рдмрд░рд╛рдмрд░ рд╣реИрдВред
рдЗрд╕рд▓рд┐рдП, \(\rm E=\cap_{n=1}^{\infty}\cup_{k=n}^{\infty}E_k\) = \(\lim\sup E_k\) рдХрд╛ рд▓реЗрдмреЗрдЧ рдорд╛рдк 0 рд╣реИред
рдФрд░ \(\rm F=\cup_{n=1}^{\infty}\cap_{k=n}^{\infty}E_k\)= \(\lim\inf E_k\) рдХрд╛ рд▓реЗрдмреЗрдЧ рдорд╛рдк 0 рд╣реИред
рдЗрд╕рд▓рд┐рдП ЁЭСГ рдФрд░ ЁЭСД рджреЛрдиреЛрдВ рд╕рддреНрдп рд╣реИрдВред
рд╡рд┐рдХрд▓реНрдк (1) рд╕рд╣реА рд╣реИред