एक वर्ग ABCD में, विकर्ण AC और BD, O पर प्रतिच्छेद करते हैं। ∠CAB का कोण समद्विभाजक क्रमशः BD और BC को F और G पर मिलता है। OF ∶ CG किसके बराबर है?

दिया गया है:

ABCD एक वर्ग है

विकर्ण O पर प्रतिच्छेद करते हैं

∠CAB का कोण समद्विभाजक क्रमशः BD और BC को F और G पर मिलता है

गणना:

माना कि भुजा AB, x है

इसलिए, विकर्ण AC = √2.x

⇒ OA = OB = OC = OD = AC/2 = x/√2    ----(i)

अब, ΔAOB में और कोण समद्विभाजक प्रमेय से

AB : AO = BF : OF

⇒ x : (x/√2)  = BF/OF

⇒ √2 : 1 = BF/OF

माना कि BF = √2y, OF = y      ----(ii)

चूँकि, BF + OF = OB = x/√2     [(i) से]

⇒ √2y + y = x/√2

⇒ \(y = \frac{x}{\sqrt2 . (\sqrt2 + 1)}\)

⇒ \(OF = \frac{x}{\sqrt2 . (\sqrt2 + 1)}\)    ----(iii)        [(ii) से]

अब, ΔABC में और कोण समद्विभाजक प्रमेय से

AB : AC = BG : GC

⇒ x : √2x  = BG : GC

⇒ 1 : √2 = BG : GC

माना कि BG = z, GC = √2z      ----(iv)

चूँकि, BG + GC = BC = x   

⇒ z + √2z = x 

⇒ \(z = \frac{x}{(\sqrt2 + 1)}\)

⇒ \(\sqrt2.z = \frac{\sqrt2x}{(\sqrt2 + 1)}\)

⇒ \(CG = \frac{\sqrt2x}{(\sqrt2 + 1)}\)      ----(v)

अब (iii) और (v) से, हम प्राप्त करते हैं

OF : CG = \( \frac{x}{\sqrt2 . (\sqrt2 + 1)} : \frac{\sqrt2x}{(\sqrt2 + 1)}\)

⇒ OF : CG = \( \frac{1}{\sqrt2} : \frac{\sqrt2}{1}\)

⇒ OF : CG = 1 : 2

∴ अभीष्ट अनुपात 1 : 2 है।