मान लीजिए \(\rm f(x) = \left\{\begin{matrix} 1+\frac{x}{2k}, & 0 < x < 2\\\ kx, & 2 \le x < 4 \end {matrix}\right.\) है। यदि \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2}\) f(x) का अस्तित्व है, तो k का मान क्या है?

संकल्पना:

चरण: 1

f(a) परिभाषित है कि नहीं की जाँच करें। यदि यह परिभाषित नहीं है तो आगे जाने की आवश्यकता नहीं है। फलन a पर सतत नहीं है। अगर f(a) परिभाषित है तो

चरण: दो

बाएं हाथ की सीमा (LHL) और दाएं हाथ की सीमा (RHL) की जांच करें

\(LHL = \rm \lim_{x\rightarrow a^{-}}f(x) \)

\(RHL= \lim_{x\rightarrow a^{+}} f(x) \)

अगर LHL = RHL तो सीमा मौजूद है।

गणना:

\(\rm \lim_{x\rightarrow 2^{-}} f(x) = \lim_{x\rightarrow 2}(1 + \frac{x}{2k} )\)

⇒ \(\rm \lim_{x\rightarrow 2^{-}}f(x)\) = \(\rm 1 + \frac{2}{2k} = 1 + \frac{1}{k}\)

⇒ \(\rm \lim_{x\rightarrow 2^{-}}f(x)\) = \( 1 + \frac{1}{k}\)         ---- (1)

साथ ही,

\(\rm \lim_{x\rightarrow 2^{+}}f(x)\) = \(\rm \lim_{x\rightarrow 2^{+}}(kx)\)

⇒ \(\rm \lim_{x\rightarrow 2^{+}}f(x)\) =   2k    ----(2)

अगर \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2}\) f(x) मौजूद है तो

\(\rm 1 + \frac{1}{k} = 2k\)

⇒ 2k2 - k - 1 = 0

⇒ 2k2 - 2k  + k - 1 = 0

⇒ 2k(k - 1) +1(k - 1) = 0

⇒ (k - 1)(2k + 1) = 0

⇒ k = 1 और -1/2

∴ k का मान 1 होता है।

Additional Information  f(a), LHL और RHL की तुलना करें।

अगर \(\rm \lim_{x\rightarrow a^{-}}f(x) = \lim_{x\rightarrow a^{+}} f(x) = f(a)\) तो

फलन f(a) पर सतत है।