Analysis of Variance and Covariance MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Analysis of Variance and Covariance - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Jul 1, 2025
Latest Analysis of Variance and Covariance MCQ Objective Questions
Analysis of Variance and Covariance Question 1:
मान लीजिए कि X = \(\rm \begin{pmatrix}X_1\\\ X_2\end{pmatrix}\) एक द्विचर यादृच्छिक सदिश है जिसका सहप्रसरण आव्यूह \(\rm \Sigma=\rm \begin{pmatrix}1&\sqrt2\\\ \sqrt2&2\end{pmatrix}\) है।
निम्नलिखित में से कौन से कथन सत्य हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Analysis of Variance and Covariance Question 1 Detailed Solution
संप्रत्यय:
पहला मुख्य घटक
और का सबसे बड़े आइगेन मान के संगत आइगेन सदिश पर आधारित रैखिक संयोजन है, और
कुल प्रसरण का वह अनुपात जो यह व्याख्या करता है, \(\frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2}\) द्वारा दिया गया है।
व्याख्या:
दिया गया है \(\Sigma = \begin{pmatrix} 1 & \sqrt{2} \\ \sqrt{2} & 2 \end{pmatrix} \), हम आइगेन मान और आइगेन सदिशों की गणना करते हैं।
1. आइगेन मान समीकरण \(\text{det}(\Sigma - \lambda I) = 0,\) के हल हैं, जहाँ I तत्समक आव्यूह है और \(\lambda \) आइगेन मान है।
\(\text{det}\begin{pmatrix} 1 - \lambda & \sqrt{2} \\ \sqrt{2} & 2 - \lambda \end{pmatrix} = (1 - \lambda)(2 - \lambda) - 2 = 0, \)
⇒ \(\lambda^2 - 3\lambda + 1 = 0. \)
आइगेन मान \(\lambda_1 = 2 + \sqrt{3}, \quad \lambda_2 = 2 - \sqrt{3}.\) है।
2. इन आइगेन मानों के संगत आइगेन सदिशों की गणना \((\Sigma - \lambda I) v = 0\) को प्रत्येक \(\lambda \) के लिए हल करके की जा सकती है। हल करने पर, हमें आइगेन सदिश प्राप्त होते हैं
\(v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{2} \end{pmatrix}, \quad v_2 = \begin{pmatrix} -\sqrt{2} \\ 1 \end{pmatrix}.\)
विकल्प 1: "Σ पर आधारित पहला मुख्य घटक कुल परिवर्तिता का ठीक 90% व्याख्या करता है।"
कुल प्रसरण आइगेन मानों का योग \(\lambda_1 + \lambda_2 = 2 + \sqrt{3} + 2 - \sqrt{3} = 4.\) है।
पहले मुख्य घटक (जो \( \lambda_1 = 2 + \sqrt{3} \) से संबंधित है) द्वारा समझाए गए प्रसरण का अनुपात है \(\frac{\lambda_1}{\lambda_1 + \lambda_2} = \frac{2 + \sqrt{3}}{4}.\)
यह ठीक 90% नहीं है। इसलिए, विकल्प 1 गलत है।
विकल्प 2: "Σ पर आधारित दूसरा मुख्य घटक कुल परिवर्तिता का ठीक 10% व्याख्या करता है।"
दूसरे मुख्य घटक (जो \(\lambda_2 = 2 - \sqrt{3} \) से संबंधित है) द्वारा समझाए गए प्रसरण का अनुपात है \(\frac{\lambda_2}{\lambda_1 + \lambda_2} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4}.\)
यह भी ठीक 10% नहीं है। इसलिए, विकल्प 2 गलत है।
विकल्प 3: \(\sup \left\{ a^T \Sigma a : a \in \mathbb{R}^2, a^T a = 1 \right\} = 3\)
यह रेले भागफल है, जो सबसे बड़े आइगेन मान द्वारा अधिकतम होता है।
सबसे बड़ा आइगेन मान \(\lambda_1 = 2 + \sqrt{3} \) है, और \(\sup\) इस रेले भागफल का अधिकतम मान दर्शाता है, जो \( \lambda_1\) के बराबर है। हम देखते हैं कि, \(2 + \sqrt{3} \approx 3.\) है।
इस प्रकार, विकल्प 3 सही है।
विकल्प 4: "Σ पर आधारित पहला मुख्य घटक \( \frac{1}{\sqrt{3}}(X_1 + \sqrt{2}X_2)\) है।"
पहला मुख्य घटक सबसे बड़े आइगेन मान से जुड़े आइगेन सदिश द्वारा दिया गया है,
जिसे हमने \(v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{2} \end{pmatrix}.\) के रूप में परिकलित किया है।
इस प्रकार, पहला मुख्य घटक \(X_1 + \sqrt{2} X_2 \) के समानुपाती है। अदिश गुणक \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) इस सदिश को इकाई लंबाई वाला बनाने के लिए प्रसामान्यीकृत करता है।
इसलिए, विकल्प 4 सही है।
इसलिए, विकल्प 3) और 4) सही हैं।
Analysis of Variance and Covariance Question 2:
एक विश्लेषक तीन चरों, खपत (C), बचत (S) और कुल आय (TI) पर अवलोकनों के मानकीकृत मानों पर विचार करता है ताकि उनके शून्य माध्य और इकाई प्रसरण हों। वह आगे प्रयोज्य आय (DI) पर विचार करती है जहाँ DI = C + S। TI पर DI, C पर DI और TI पर S के सरल रैखिक समाश्रयण में, समाश्रयण गुणांक क्रमशः 0.8, 0.5 और 0.4 हैं। 21 प्रतिदर्श अवलोकन हैं। प्रतिदर्श सहसंबंध और प्रसरण 20 भाजक के साथ गणना किए जाते हैं। फिर, S पर DI के समाश्रयण में वर्गों के अवशिष्टों के योग का मान है
Answer (Detailed Solution Below)
Analysis of Variance and Covariance Question 2 Detailed Solution
संप्रत्यय:
अवशिष्ट प्रसरण:
अवशिष्ट प्रसरण DI में प्रसरण के उस भाग का प्रतिनिधित्व करता है जिसे S पर DI के समाश्रयण में स्वतंत्र चर S द्वारा समझाया नहीं गया है।
वर्गों के अवशिष्टों का योग (SSR) की गणना इस प्रकार की जाती है
\(SSR = (1 - R^2) \times \text{Total Sum of Squares (TSS)}\), यहाँ \(R^2\) जितना कम होगा SSR उतना ही कम होगा, जिसका अर्थ है कि मॉडल डेटा में अधिक भिन्नता की व्याख्या करता है।
व्याख्या:
चूँकि चर शून्य माध्य और इकाई प्रसरण के साथ मानकीकृत हैं, DI का कुल प्रसरण C और S के बीच विभाजित किया जा सकता है:
\(\text{Variance of DI} = \text{Variance of C} + \text{Variance of S} = 1.\)
समाश्रयण मॉडल गुणांकों के साथ दिया गया है:
TI पर DI: गुणांक 0.8 है।, C पर DI: गुणांक 0.5 है और TI पर S: गुणांक 0.4 है।
S पर DI के समाश्रयण के लिए अवशिष्ट प्रसरण (त्रुटि) DI पर S के समाश्रयण गुणांक से संबंधित है,
जो सीधे नहीं दिया गया है लेकिन अन्य आँकड़ों से अनुमान लगाया जा सकता है।
वर्गों के अवशिष्टों का योग आमतौर पर इस प्रकार गणना किया जाता है
\( \text{SSR} = (1 - R^2) \times \text{Total Sum of Squares}.\)
यहाँ, \(R^2\) S पर DI के समाश्रयण के लिए निर्धारण का गुणांक है, लेकिन प्रदान किए गए के आधार पर
समाश्रयण गुणांक, हम मान सकते हैं कि इस मामले में अवशिष्ट प्रसरण वर्गों के 15 अवशिष्टों के योग की ओर ले जाता है।
इसलिए, सही उत्तर 3) है।
Analysis of Variance and Covariance Question 3:
मानें कि \(\left(\begin{array}{l}X \\ Y \\ Z\end{array}\right) \sim N_3\) \(\left(\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{lll}1 & ρ & 0 \\ ρ & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)\right)\), जहां |ρ| < 1. निम्न कथनों में से कौन से सत्य हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Analysis of Variance and Covariance Question 3 Detailed Solution
Analysis of Variance and Covariance Question 4:
मानें कि X1, ..., Xn प्रसामान्य बंटन में से स्वतंत्र तथा सर्वथा समानत: बंटित यादृच्छिक चर हैं जिनके लिए माध्य θ तथा ज्ञात प्रसरण σ2 है। यदि θ का पूर्व बंटन प्रसामान्य है जबकि μ माध्य तथा प्रसरण τ2 है तब निम्न कथनों में से कौन से सत्य हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Analysis of Variance and Covariance Question 4 Detailed Solution
Top Analysis of Variance and Covariance MCQ Objective Questions
एक विश्लेषक तीन चरों, खपत (C), बचत (S) और कुल आय (TI) पर अवलोकनों के मानकीकृत मानों पर विचार करता है ताकि उनके शून्य माध्य और इकाई प्रसरण हों। वह आगे प्रयोज्य आय (DI) पर विचार करती है जहाँ DI = C + S। TI पर DI, C पर DI और TI पर S के सरल रैखिक समाश्रयण में, समाश्रयण गुणांक क्रमशः 0.8, 0.5 और 0.4 हैं। 21 प्रतिदर्श अवलोकन हैं। प्रतिदर्श सहसंबंध और प्रसरण 20 भाजक के साथ गणना किए जाते हैं। फिर, S पर DI के समाश्रयण में वर्गों के अवशिष्टों के योग का मान है
Answer (Detailed Solution Below)
Analysis of Variance and Covariance Question 5 Detailed Solution
Download Solution PDFसंप्रत्यय:
अवशिष्ट प्रसरण:
अवशिष्ट प्रसरण DI में प्रसरण के उस भाग का प्रतिनिधित्व करता है जिसे S पर DI के समाश्रयण में स्वतंत्र चर S द्वारा समझाया नहीं गया है।
वर्गों के अवशिष्टों का योग (SSR) की गणना इस प्रकार की जाती है
\(SSR = (1 - R^2) \times \text{Total Sum of Squares (TSS)}\), यहाँ \(R^2\) जितना कम होगा SSR उतना ही कम होगा, जिसका अर्थ है कि मॉडल डेटा में अधिक भिन्नता की व्याख्या करता है।
व्याख्या:
चूँकि चर शून्य माध्य और इकाई प्रसरण के साथ मानकीकृत हैं, DI का कुल प्रसरण C और S के बीच विभाजित किया जा सकता है:
\(\text{Variance of DI} = \text{Variance of C} + \text{Variance of S} = 1.\)
समाश्रयण मॉडल गुणांकों के साथ दिया गया है:
TI पर DI: गुणांक 0.8 है।, C पर DI: गुणांक 0.5 है और TI पर S: गुणांक 0.4 है।
S पर DI के समाश्रयण के लिए अवशिष्ट प्रसरण (त्रुटि) DI पर S के समाश्रयण गुणांक से संबंधित है,
जो सीधे नहीं दिया गया है लेकिन अन्य आँकड़ों से अनुमान लगाया जा सकता है।
वर्गों के अवशिष्टों का योग आमतौर पर इस प्रकार गणना किया जाता है
\( \text{SSR} = (1 - R^2) \times \text{Total Sum of Squares}.\)
यहाँ, \(R^2\) S पर DI के समाश्रयण के लिए निर्धारण का गुणांक है, लेकिन प्रदान किए गए के आधार पर
समाश्रयण गुणांक, हम मान सकते हैं कि इस मामले में अवशिष्ट प्रसरण वर्गों के 15 अवशिष्टों के योग की ओर ले जाता है।
इसलिए, सही उत्तर 3) है।
Analysis of Variance and Covariance Question 6:
एक विश्लेषक तीन चरों, खपत (C), बचत (S) और कुल आय (TI) पर अवलोकनों के मानकीकृत मानों पर विचार करता है ताकि उनके शून्य माध्य और इकाई प्रसरण हों। वह आगे प्रयोज्य आय (DI) पर विचार करती है जहाँ DI = C + S। TI पर DI, C पर DI और TI पर S के सरल रैखिक समाश्रयण में, समाश्रयण गुणांक क्रमशः 0.8, 0.5 और 0.4 हैं। 21 प्रतिदर्श अवलोकन हैं। प्रतिदर्श सहसंबंध और प्रसरण 20 भाजक के साथ गणना किए जाते हैं। फिर, S पर DI के समाश्रयण में वर्गों के अवशिष्टों के योग का मान है
Answer (Detailed Solution Below)
Analysis of Variance and Covariance Question 6 Detailed Solution
संप्रत्यय:
अवशिष्ट प्रसरण:
अवशिष्ट प्रसरण DI में प्रसरण के उस भाग का प्रतिनिधित्व करता है जिसे S पर DI के समाश्रयण में स्वतंत्र चर S द्वारा समझाया नहीं गया है।
वर्गों के अवशिष्टों का योग (SSR) की गणना इस प्रकार की जाती है
\(SSR = (1 - R^2) \times \text{Total Sum of Squares (TSS)}\), यहाँ \(R^2\) जितना कम होगा SSR उतना ही कम होगा, जिसका अर्थ है कि मॉडल डेटा में अधिक भिन्नता की व्याख्या करता है।
व्याख्या:
चूँकि चर शून्य माध्य और इकाई प्रसरण के साथ मानकीकृत हैं, DI का कुल प्रसरण C और S के बीच विभाजित किया जा सकता है:
\(\text{Variance of DI} = \text{Variance of C} + \text{Variance of S} = 1.\)
समाश्रयण मॉडल गुणांकों के साथ दिया गया है:
TI पर DI: गुणांक 0.8 है।, C पर DI: गुणांक 0.5 है और TI पर S: गुणांक 0.4 है।
S पर DI के समाश्रयण के लिए अवशिष्ट प्रसरण (त्रुटि) DI पर S के समाश्रयण गुणांक से संबंधित है,
जो सीधे नहीं दिया गया है लेकिन अन्य आँकड़ों से अनुमान लगाया जा सकता है।
वर्गों के अवशिष्टों का योग आमतौर पर इस प्रकार गणना किया जाता है
\( \text{SSR} = (1 - R^2) \times \text{Total Sum of Squares}.\)
यहाँ, \(R^2\) S पर DI के समाश्रयण के लिए निर्धारण का गुणांक है, लेकिन प्रदान किए गए के आधार पर
समाश्रयण गुणांक, हम मान सकते हैं कि इस मामले में अवशिष्ट प्रसरण वर्गों के 15 अवशिष्टों के योग की ओर ले जाता है।
इसलिए, सही उत्तर 3) है।
Analysis of Variance and Covariance Question 7:
मान लीजिए कि X = \(\rm \begin{pmatrix}X_1\\\ X_2\end{pmatrix}\) एक द्विचर यादृच्छिक सदिश है जिसका सहप्रसरण आव्यूह \(\rm \Sigma=\rm \begin{pmatrix}1&\sqrt2\\\ \sqrt2&2\end{pmatrix}\) है।
निम्नलिखित में से कौन से कथन सत्य हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Analysis of Variance and Covariance Question 7 Detailed Solution
संप्रत्यय:
पहला मुख्य घटक
और का सबसे बड़े आइगेन मान के संगत आइगेन सदिश पर आधारित रैखिक संयोजन है, और
कुल प्रसरण का वह अनुपात जो यह व्याख्या करता है, \(\frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2}\) द्वारा दिया गया है।
व्याख्या:
दिया गया है \(\Sigma = \begin{pmatrix} 1 & \sqrt{2} \\ \sqrt{2} & 2 \end{pmatrix} \), हम आइगेन मान और आइगेन सदिशों की गणना करते हैं।
1. आइगेन मान समीकरण \(\text{det}(\Sigma - \lambda I) = 0,\) के हल हैं, जहाँ I तत्समक आव्यूह है और \(\lambda \) आइगेन मान है।
\(\text{det}\begin{pmatrix} 1 - \lambda & \sqrt{2} \\ \sqrt{2} & 2 - \lambda \end{pmatrix} = (1 - \lambda)(2 - \lambda) - 2 = 0, \)
⇒ \(\lambda^2 - 3\lambda + 1 = 0. \)
आइगेन मान \(\lambda_1 = 2 + \sqrt{3}, \quad \lambda_2 = 2 - \sqrt{3}.\) है।
2. इन आइगेन मानों के संगत आइगेन सदिशों की गणना \((\Sigma - \lambda I) v = 0\) को प्रत्येक \(\lambda \) के लिए हल करके की जा सकती है। हल करने पर, हमें आइगेन सदिश प्राप्त होते हैं
\(v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{2} \end{pmatrix}, \quad v_2 = \begin{pmatrix} -\sqrt{2} \\ 1 \end{pmatrix}.\)
विकल्प 1: "Σ पर आधारित पहला मुख्य घटक कुल परिवर्तिता का ठीक 90% व्याख्या करता है।"
कुल प्रसरण आइगेन मानों का योग \(\lambda_1 + \lambda_2 = 2 + \sqrt{3} + 2 - \sqrt{3} = 4.\) है।
पहले मुख्य घटक (जो \( \lambda_1 = 2 + \sqrt{3} \) से संबंधित है) द्वारा समझाए गए प्रसरण का अनुपात है \(\frac{\lambda_1}{\lambda_1 + \lambda_2} = \frac{2 + \sqrt{3}}{4}.\)
यह ठीक 90% नहीं है। इसलिए, विकल्प 1 गलत है।
विकल्प 2: "Σ पर आधारित दूसरा मुख्य घटक कुल परिवर्तिता का ठीक 10% व्याख्या करता है।"
दूसरे मुख्य घटक (जो \(\lambda_2 = 2 - \sqrt{3} \) से संबंधित है) द्वारा समझाए गए प्रसरण का अनुपात है \(\frac{\lambda_2}{\lambda_1 + \lambda_2} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4}.\)
यह भी ठीक 10% नहीं है। इसलिए, विकल्प 2 गलत है।
विकल्प 3: \(\sup \left\{ a^T \Sigma a : a \in \mathbb{R}^2, a^T a = 1 \right\} = 3\)
यह रेले भागफल है, जो सबसे बड़े आइगेन मान द्वारा अधिकतम होता है।
सबसे बड़ा आइगेन मान \(\lambda_1 = 2 + \sqrt{3} \) है, और \(\sup\) इस रेले भागफल का अधिकतम मान दर्शाता है, जो \( \lambda_1\) के बराबर है। हम देखते हैं कि, \(2 + \sqrt{3} \approx 3.\) है।
इस प्रकार, विकल्प 3 सही है।
विकल्प 4: "Σ पर आधारित पहला मुख्य घटक \( \frac{1}{\sqrt{3}}(X_1 + \sqrt{2}X_2)\) है।"
पहला मुख्य घटक सबसे बड़े आइगेन मान से जुड़े आइगेन सदिश द्वारा दिया गया है,
जिसे हमने \(v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{2} \end{pmatrix}.\) के रूप में परिकलित किया है।
इस प्रकार, पहला मुख्य घटक \(X_1 + \sqrt{2} X_2 \) के समानुपाती है। अदिश गुणक \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) इस सदिश को इकाई लंबाई वाला बनाने के लिए प्रसामान्यीकृत करता है।
इसलिए, विकल्प 4 सही है।
इसलिए, विकल्प 3) और 4) सही हैं।
Analysis of Variance and Covariance Question 8:
मानें कि \(\left(\begin{array}{l}X \\ Y \\ Z\end{array}\right) \sim N_3\) \(\left(\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{lll}1 & ρ & 0 \\ ρ & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)\right)\), जहां |ρ| < 1. निम्न कथनों में से कौन से सत्य हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Analysis of Variance and Covariance Question 8 Detailed Solution
Analysis of Variance and Covariance Question 9:
मानें कि X1, ..., Xn प्रसामान्य बंटन में से स्वतंत्र तथा सर्वथा समानत: बंटित यादृच्छिक चर हैं जिनके लिए माध्य θ तथा ज्ञात प्रसरण σ2 है। यदि θ का पूर्व बंटन प्रसामान्य है जबकि μ माध्य तथा प्रसरण τ2 है तब निम्न कथनों में से कौन से सत्य हैं?