Sampling Distributions MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Sampling Distributions - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Jun 30, 2025
Latest Sampling Distributions MCQ Objective Questions
Sampling Distributions Question 1:
मान लीजिए X₁ और X₂ N(0, σ²) बंटन से एक यादृच्छिक प्रतिदर्श है, जहाँ σ > 0 और N(μ, σ²) माध्य μ और प्रसरण σ² वाले प्रसामान्य बंटन को दर्शाता है। मान लीजिए, किसी अचर c के लिए, (c(X₁² + X₂²), ∞) प्रसरण σ² के लिए 0.95 विश्वास्यता गुणांक के साथ एक विश्वास्यता अंतराल है। तब c का मान किसके बराबर है?
Answer (Detailed Solution Below)
Sampling Distributions Question 1 Detailed Solution
संप्रत्यय:
काई-वर्ग बंटन:
स्वतंत्र रूप से प्रसामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर के वर्गों का योग एक काई-वर्ग बंटन का पालन करता है।
विशेष रूप से, \(N(0, \sigma^2) \) से लिए गए \(X_1\) और \(X_2\) के लिए, व्यंजक \(X_1^2 + X_2^2 \) एक काई-वर्ग बंटन का पालन करता है
2 स्वातंत्र्य कोटि के साथ, \(\sigma^2\) द्वारा स्केल किया गया:
\( X_1^2 + X_2^2 \sim \sigma^2 \cdot \chi^2_2\)
एक प्रतिदर्श से प्रसरण \(\sigma^2\) के आकलन के लिए काई-वर्ग बंटन महत्वपूर्ण है।
प्रसरण के लिए विश्वास्यता अंतराल:
प्रसरण \(\sigma^2\) के लिए एक विश्वास्यता अंतराल काई-वर्ग बंटन से प्राप्त होता है। सामान्य रूप
\(\sigma^2\) के लिए विश्वास्यता अंतराल का काई-वर्ग सांख्यिकी पर आधारित है
\( \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2, n-1}} < \sigma^2 < \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2, n-1}},\) जहाँ \(s^2 \) प्रतिदर्श प्रसरण है।
\(\chi^2_{\alpha/2, n-1}\) और \(\chi^2_{1-\alpha/2, n-1} \) n-1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ काई-वर्ग बंटन से क्रांतिक मान हैं।
व्याख्या:
हमें दिया गया है
\(X_1, X_2 \) \(N(0, \sigma^2)\) से एक यादृच्छिक प्रतिदर्श हैं, जहाँ \(N(\mu, \sigma^2)\) माध्य μ और प्रसरण \(\sigma^2\) वाले प्रसामान्य बंटन को दर्शाता है।
विश्वास्यता अंतराल प्रसरण \(\sigma^2\) से जुड़ा हुआ है और इसका विश्वास्यता गुणांक 0.95 है।
हमें समीकरण \(c(X_1^2 + X_2^2) \) में c का मान ज्ञात करना है, जहाँ यह व्यंजक एक विश्वास्यता अंतराल को परिभाषित करने में मदद करता है।
चूँकि \(X_1 \) और \( X_2\) स्वतंत्र हैं और एक प्रसामान्य बंटन \(N(0, \sigma^2)\) से आते हैं, इसलिए उनके वर्ग 2 स्वातंत्र्य कोटि के साथ एक काई-वर्ग बंटन का पालन करते हैं, \(\sigma^2\) द्वारा स्केल किया गया। विशेष रूप से
\(X_1^2 + X_2^2 \sim \sigma^2 \cdot \chi^2_2.\)
वर्गों का योग \(X_1^2 + X_2^2\) का उपयोग प्रसरण \(\sigma^2 \) के लिए एक विश्वास्यता अंतराल बनाने के लिए किया जा सकता है।
व्यंजक \(c(X_1^2 + X_2^2)\) काई-वर्ग बंटन से संबंधित है। विश्वास्यता अंतराल काई-वर्ग बंटन के विभाजक पर आधारित है। 95% विश्वास्यता अंतराल के लिए, विश्वास्यता गुणांक 0.95 है, जिसका अर्थ है कि हमें 5% महत्व स्तर (0.05) पर काई-वर्ग बंटन के विभाजक की आवश्यकता है।
अचर c काई-वर्ग बंटन के विभाजक से संबंधित हो सकता है। दिए गए विश्वास्यता गुणांक 0.95, हम अपेक्षा करते हैं कि c काई-वर्ग बंटन और 5% महत्व स्तर से जुड़े लघुगणकीय संबंध से प्राप्त होगा।
सांख्यिकीय तालिकाओं से, 95% विश्वास्यता अंतराल के लिए, हम c के व्यंजक में \ln(0.05) का उपयोग करते हैं।
यह काई-वर्ग बंटन विभाजक फलन के आधार पर अवकलज किया गया है।
उपरोक्त समझ के आधार पर, c का सही मान \(c = \frac{-1}{2 \ln(0.05)}.\) है।
इस प्रकार, सही उत्तर विकल्प 3) है।
Sampling Distributions Question 2:
मान लीजिए कि एक बंटन है जिसका प्रायिकता द्रव्यमान फलन है
\(\rm f(x| θ)=\left\{\begin{matrix}\frac{1-θ}{2}, &if\ x = 0\\\ \frac{1}{2}&if\ x=1\\\ \frac{θ}{2}&if\ x=2\\\ 0&otherwise\end{matrix}\right.\)
जहाँ θ ∈ (0, 1) एक अज्ञात प्राचल है। उपरोक्त बंटन से आकार 100 के एक यादृच्छिक प्रतिदर्श में, 0, 1 और 2 की प्रेक्षित गणनाएँ क्रमशः 20, 30 और 50 हैं। तब, प्रेक्षित आँकड़ों के आधार पर θ का अधिकतम संभावना आकलन है:
Answer (Detailed Solution Below)
Sampling Distributions Question 2 Detailed Solution
संप्रत्यय:
अधिकतम संभावना आकलन (MLE), जो प्रेक्षित आँकड़ों को देखते हुए एक सांख्यिकीय मॉडल के प्राचलों का आकलन करने की एक विधि है।
संभावना फलन प्रत्येक प्रेक्षित परिणाम की प्रायिकताओं का गुणनफल है।
व्याख्या:
\(f(x | \theta) = \begin{cases} \frac{1 - \theta}{2}, & \text{if } x = 0 \\ \frac{1}{2}, & \text{if } x = 1 \\ \frac{\theta}{2}, & \text{if } x = 2 \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}\)
जहाँ \(\theta \in (0, 1)\) एक अज्ञात प्राचल है।
प्रतिदर्श आकार 100 है।
x = 0, 1, 2 की प्रेक्षित गणनाएँ क्रमशः 20, 30 और 50 हैं।
आइए प्रेक्षित गणनाओं को निरूपित करें
\(n_0 = 20 , \) के लिए \(x=0\)
\( n_1 = 30 \) के लिए \(x = 1\)
\( n_2 = 50 \) के लिए \(x = 2\)
संभावना फलन, PMF के आधार पर, प्रेक्षित डेटा बिंदुओं की प्रायिकताओं का गुणनफल है।
\(\theta \) दिए गए x = 0, 1, 2 को देखने की प्रायिकता है
\(L(\theta) = \left( \frac{1 - \theta}{2} \right)^{n_0} \left( \frac{1}{2} \right)^{n_1} \left( \frac{\theta}{2} \right)^{n_2}\)
\(\log L(\theta) = n_0 \log \left( \frac{1 - \theta}{2} \right) + n_1 \log \left( \frac{1}{2} \right) + n_2 \log \left( \frac{\theta}{2} \right)\)
\(\log L(\theta) = n_0 \log(1 - \theta) + n_1 \log \left( \frac{1}{2} \right) + n_2 \log(\theta) + \text{constant terms}\)
फलन को अधिकतम करते समय \(\frac{1}{2} \) से जुड़े नियतांक पदों की उपेक्षा की जा सकती है।
MLE ज्ञात करने के लिए, \(\theta\) के सापेक्ष \(\log L(\theta)\) का अवकलज लें और इसे शून्य के बराबर करें
\(\frac{d}{d\theta} \log L(\theta) = \frac{-n_0}{1 - \theta} + \frac{n_2}{\theta}\)
अधिकतम मान के लिए: \(\frac{-n_0}{1 - \theta} + \frac{n_2}{\theta} = 0\)
⇒ \(\frac{n_2}{\theta} = \frac{n_0}{1 - \theta} \)
समीकरण को हल करने पर: \(n_2(1 - \theta) = n_0 \theta\)
⇒ \(n_2 - n_2 \theta = n_0 \theta \)
⇒ \(n_2 = (n_0 + n_2) \theta \)
⇒ \(\theta = \frac{n_2}{n_0 + n_2}\)
\(n_0 = 20\) और \( n_2 = 50:\) प्रतिस्थापित करने पर,
\(\theta = \frac{50}{20 + 50} = \frac{50}{70} = \frac{5}{7} \)
इसलिए, सही विकल्प 2) है।
Sampling Distributions Question 3:
साईज़ n = 2 के नमूने को N = 4 साईज़ की समष्टि से बिना नमूना प्रतिस्थापन किए साईज़ के समानुपाती प्रायिकता के उपयोग से निकाला जाता है जहां प्रायिकतायें साईज़ के समानुपात में हैं
\(\begin{array}{ccccc} i: & 1 & 2 & 3 & 4 \\ p_i & 0.4 & 0.2 & 0.2 & 0.2 \end{array}\)
नमूने में यूनिट 1 के सम्मिलित होने की प्रायिकता है
Answer (Detailed Solution Below)
Sampling Distributions Question 3 Detailed Solution
Sampling Distributions Question 4:
मान लीजिए X1, X2, ..., Xn एक अज्ञात बंटन से एक यादृच्छिक प्रतिदर्श है जिसका निरपेक्ष सतत संचयी बंटन फलन (cdf) F है। मान लीजिए F0 एक निर्दिष्ट निरपेक्ष सतत cdf है। H0 : F(x) = F0(x) सभी x के लिए H1 : F(x) ≠ F0(x) कुछ x के लिए, की जाँच के लिए, निम्नलिखित दो परीक्षण सांख्यिकी पर विचार करें:
\(\displaystyle T_{1, n}=\sup _{x \in \mathbb{R}}\left|\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n I_{\left\{X_i \leq x\right\}}-F_0(x)\right| \), और \(\displaystyle T_{2, n}=\sup _{x \in \mathbb{R}} n\left|\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n I_{\left\{X_i \leq x\right\}}-F_0(x)\right|\), जहाँ \(I_{\left\{X_i \leq x\right\}}=\left\{\begin{array}{ll}1, & \text { if } X_i \leq x \\ 0, & \text { if } X_i>x\end{array}\right.\) i = 1, 2, ..., n के लिए।
तब निम्नलिखित में से कौन से कथन सत्य हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Sampling Distributions Question 4 Detailed Solution
सही उत्तर विकल्प 1 और 3 हैं।
हम जल्द ही समाधान अपडेट करेंगे।
Sampling Distributions Question 5:
मान लीजिए X 1 , ..., X n N(μ, 1) वितरण से एक यादृच्छिक प्रतिदर्श है, जहाँ μ ∈ ℝ अज्ञात है। H0 : μ = μ0 को H 1 : μ > μ0 के विरुद्ध परखने के लिए, जहाँ μ 0 ∈ ℝ कुछ निर्दिष्ट स्थिरांक है, निम्नलिखित दो परीक्षणों पर विचार करें:
(A) H0 को केवल तभी अस्वीकार करें जब X̅ n > c 1 हो, जहाँ c1 इस प्रकार हो कि \(P_{μ_0}\) (X̅ n > c 1 ) = α ∈ (0, 1) और X̅ n = \(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i\) है।
(बी) H 0 को केवल तभी अस्वीकार करें जब माध्यिका {X 1 , ..., X n } > c2 हो, जहाँ c2 इस प्रकार हो कि \(P_{μ_0}\) (माध्यिका{X 1 , ..., X n } > c 2 ) = α ∈ (0, 1) है।
तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Sampling Distributions Question 5 Detailed Solution
सही उत्तर विकल्प 1, 3 और 4 हैं
हम यथाशीघ्र समाधान अपडेट करेंगे।
Top Sampling Distributions MCQ Objective Questions
मान लीजिए कि एक बंटन है जिसका प्रायिकता द्रव्यमान फलन है
\(\rm f(x| θ)=\left\{\begin{matrix}\frac{1-θ}{2}, &if\ x = 0\\\ \frac{1}{2}&if\ x=1\\\ \frac{θ}{2}&if\ x=2\\\ 0&otherwise\end{matrix}\right.\)
जहाँ θ ∈ (0, 1) एक अज्ञात प्राचल है। उपरोक्त बंटन से आकार 100 के एक यादृच्छिक प्रतिदर्श में, 0, 1 और 2 की प्रेक्षित गणनाएँ क्रमशः 20, 30 और 50 हैं। तब, प्रेक्षित आँकड़ों के आधार पर θ का अधिकतम संभावना आकलन है:
Answer (Detailed Solution Below)
Sampling Distributions Question 6 Detailed Solution
Download Solution PDFसंप्रत्यय:
अधिकतम संभावना आकलन (MLE), जो प्रेक्षित आँकड़ों को देखते हुए एक सांख्यिकीय मॉडल के प्राचलों का आकलन करने की एक विधि है।
संभावना फलन प्रत्येक प्रेक्षित परिणाम की प्रायिकताओं का गुणनफल है।
व्याख्या:
\(f(x | \theta) = \begin{cases} \frac{1 - \theta}{2}, & \text{if } x = 0 \\ \frac{1}{2}, & \text{if } x = 1 \\ \frac{\theta}{2}, & \text{if } x = 2 \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}\)
जहाँ \(\theta \in (0, 1)\) एक अज्ञात प्राचल है।
प्रतिदर्श आकार 100 है।
x = 0, 1, 2 की प्रेक्षित गणनाएँ क्रमशः 20, 30 और 50 हैं।
आइए प्रेक्षित गणनाओं को निरूपित करें
\(n_0 = 20 , \) के लिए \(x=0\)
\( n_1 = 30 \) के लिए \(x = 1\)
\( n_2 = 50 \) के लिए \(x = 2\)
संभावना फलन, PMF के आधार पर, प्रेक्षित डेटा बिंदुओं की प्रायिकताओं का गुणनफल है।
\(\theta \) दिए गए x = 0, 1, 2 को देखने की प्रायिकता है
\(L(\theta) = \left( \frac{1 - \theta}{2} \right)^{n_0} \left( \frac{1}{2} \right)^{n_1} \left( \frac{\theta}{2} \right)^{n_2}\)
\(\log L(\theta) = n_0 \log \left( \frac{1 - \theta}{2} \right) + n_1 \log \left( \frac{1}{2} \right) + n_2 \log \left( \frac{\theta}{2} \right)\)
\(\log L(\theta) = n_0 \log(1 - \theta) + n_1 \log \left( \frac{1}{2} \right) + n_2 \log(\theta) + \text{constant terms}\)
फलन को अधिकतम करते समय \(\frac{1}{2} \) से जुड़े नियतांक पदों की उपेक्षा की जा सकती है।
MLE ज्ञात करने के लिए, \(\theta\) के सापेक्ष \(\log L(\theta)\) का अवकलज लें और इसे शून्य के बराबर करें
\(\frac{d}{d\theta} \log L(\theta) = \frac{-n_0}{1 - \theta} + \frac{n_2}{\theta}\)
अधिकतम मान के लिए: \(\frac{-n_0}{1 - \theta} + \frac{n_2}{\theta} = 0\)
⇒ \(\frac{n_2}{\theta} = \frac{n_0}{1 - \theta} \)
समीकरण को हल करने पर: \(n_2(1 - \theta) = n_0 \theta\)
⇒ \(n_2 - n_2 \theta = n_0 \theta \)
⇒ \(n_2 = (n_0 + n_2) \theta \)
⇒ \(\theta = \frac{n_2}{n_0 + n_2}\)
\(n_0 = 20\) और \( n_2 = 50:\) प्रतिस्थापित करने पर,
\(\theta = \frac{50}{20 + 50} = \frac{50}{70} = \frac{5}{7} \)
इसलिए, सही विकल्प 2) है।
मान लीजिए X₁ और X₂ N(0, σ²) बंटन से एक यादृच्छिक प्रतिदर्श है, जहाँ σ > 0 और N(μ, σ²) माध्य μ और प्रसरण σ² वाले प्रसामान्य बंटन को दर्शाता है। मान लीजिए, किसी अचर c के लिए, (c(X₁² + X₂²), ∞) प्रसरण σ² के लिए 0.95 विश्वास्यता गुणांक के साथ एक विश्वास्यता अंतराल है। तब c का मान किसके बराबर है?
Answer (Detailed Solution Below)
Sampling Distributions Question 7 Detailed Solution
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काई-वर्ग बंटन:
स्वतंत्र रूप से प्रसामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर के वर्गों का योग एक काई-वर्ग बंटन का पालन करता है।
विशेष रूप से, \(N(0, \sigma^2) \) से लिए गए \(X_1\) और \(X_2\) के लिए, व्यंजक \(X_1^2 + X_2^2 \) एक काई-वर्ग बंटन का पालन करता है
2 स्वातंत्र्य कोटि के साथ, \(\sigma^2\) द्वारा स्केल किया गया:
\( X_1^2 + X_2^2 \sim \sigma^2 \cdot \chi^2_2\)
एक प्रतिदर्श से प्रसरण \(\sigma^2\) के आकलन के लिए काई-वर्ग बंटन महत्वपूर्ण है।
प्रसरण के लिए विश्वास्यता अंतराल:
प्रसरण \(\sigma^2\) के लिए एक विश्वास्यता अंतराल काई-वर्ग बंटन से प्राप्त होता है। सामान्य रूप
\(\sigma^2\) के लिए विश्वास्यता अंतराल का काई-वर्ग सांख्यिकी पर आधारित है
\( \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2, n-1}} < \sigma^2 < \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2, n-1}},\) जहाँ \(s^2 \) प्रतिदर्श प्रसरण है।
\(\chi^2_{\alpha/2, n-1}\) और \(\chi^2_{1-\alpha/2, n-1} \) n-1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ काई-वर्ग बंटन से क्रांतिक मान हैं।
व्याख्या:
हमें दिया गया है
\(X_1, X_2 \) \(N(0, \sigma^2)\) से एक यादृच्छिक प्रतिदर्श हैं, जहाँ \(N(\mu, \sigma^2)\) माध्य μ और प्रसरण \(\sigma^2\) वाले प्रसामान्य बंटन को दर्शाता है।
विश्वास्यता अंतराल प्रसरण \(\sigma^2\) से जुड़ा हुआ है और इसका विश्वास्यता गुणांक 0.95 है।
हमें समीकरण \(c(X_1^2 + X_2^2) \) में c का मान ज्ञात करना है, जहाँ यह व्यंजक एक विश्वास्यता अंतराल को परिभाषित करने में मदद करता है।
चूँकि \(X_1 \) और \( X_2\) स्वतंत्र हैं और एक प्रसामान्य बंटन \(N(0, \sigma^2)\) से आते हैं, इसलिए उनके वर्ग 2 स्वातंत्र्य कोटि के साथ एक काई-वर्ग बंटन का पालन करते हैं, \(\sigma^2\) द्वारा स्केल किया गया। विशेष रूप से
\(X_1^2 + X_2^2 \sim \sigma^2 \cdot \chi^2_2.\)
वर्गों का योग \(X_1^2 + X_2^2\) का उपयोग प्रसरण \(\sigma^2 \) के लिए एक विश्वास्यता अंतराल बनाने के लिए किया जा सकता है।
व्यंजक \(c(X_1^2 + X_2^2)\) काई-वर्ग बंटन से संबंधित है। विश्वास्यता अंतराल काई-वर्ग बंटन के विभाजक पर आधारित है। 95% विश्वास्यता अंतराल के लिए, विश्वास्यता गुणांक 0.95 है, जिसका अर्थ है कि हमें 5% महत्व स्तर (0.05) पर काई-वर्ग बंटन के विभाजक की आवश्यकता है।
अचर c काई-वर्ग बंटन के विभाजक से संबंधित हो सकता है। दिए गए विश्वास्यता गुणांक 0.95, हम अपेक्षा करते हैं कि c काई-वर्ग बंटन और 5% महत्व स्तर से जुड़े लघुगणकीय संबंध से प्राप्त होगा।
सांख्यिकीय तालिकाओं से, 95% विश्वास्यता अंतराल के लिए, हम c के व्यंजक में \ln(0.05) का उपयोग करते हैं।
यह काई-वर्ग बंटन विभाजक फलन के आधार पर अवकलज किया गया है।
उपरोक्त समझ के आधार पर, c का सही मान \(c = \frac{-1}{2 \ln(0.05)}.\) है।
इस प्रकार, सही उत्तर विकल्प 3) है।
Sampling Distributions Question 8:
मान लीजिए X1, X2, ..., X6 एक यादृच्छिक नमूना है जो संभाव्यता घनत्व फलन के साथ गामा वितरण से लिया गया है
\(f(x \mid \lambda)=\left\{\begin{array}{cl} \frac{\lambda^4}{6} e^{-\lambda x} x^3, & \text { यदि } x>0 \\ 0, & \text { यदि } x \leq 0 \end{array},\right.\)
जहां λ > 0 अज्ञात है। मान लीजिए \(T=\sum_{i=1}^6 X_i\) और ψ आकार α = 0.05 का एक समान रूप से सबसे शक्तिशाली परीक्षण है जो शून्य परिकल्पना H0 : λ = 1 का परीक्षण करता है, वैकल्पिक परिकल्पना H1 : λ > 1 के विरुद्ध। किसी भी धनात्मक पूर्णांक v के लिए, मान लीजिए \(\chi_{v, α}^2\) \(\chi_v^2\) वितरण का (1 - α)th क्वांटाइल दर्शाता है। तब परीक्षण ψ H0 को अस्वीकार करता है यदि और केवल यदि
Answer (Detailed Solution Below)
Sampling Distributions Question 8 Detailed Solution
सही उत्तर विकल्प 2 है
हम जल्द से जल्द समाधान अपडेट करेंगे।
Sampling Distributions Question 9:
मान लीजिए कि एक बंटन है जिसका प्रायिकता द्रव्यमान फलन है
\(\rm f(x| θ)=\left\{\begin{matrix}\frac{1-θ}{2}, &if\ x = 0\\\ \frac{1}{2}&if\ x=1\\\ \frac{θ}{2}&if\ x=2\\\ 0&otherwise\end{matrix}\right.\)
जहाँ θ ∈ (0, 1) एक अज्ञात प्राचल है। उपरोक्त बंटन से आकार 100 के एक यादृच्छिक प्रतिदर्श में, 0, 1 और 2 की प्रेक्षित गणनाएँ क्रमशः 20, 30 और 50 हैं। तब, प्रेक्षित आँकड़ों के आधार पर θ का अधिकतम संभावना आकलन है:
Answer (Detailed Solution Below)
Sampling Distributions Question 9 Detailed Solution
संप्रत्यय:
अधिकतम संभावना आकलन (MLE), जो प्रेक्षित आँकड़ों को देखते हुए एक सांख्यिकीय मॉडल के प्राचलों का आकलन करने की एक विधि है।
संभावना फलन प्रत्येक प्रेक्षित परिणाम की प्रायिकताओं का गुणनफल है।
व्याख्या:
\(f(x | \theta) = \begin{cases} \frac{1 - \theta}{2}, & \text{if } x = 0 \\ \frac{1}{2}, & \text{if } x = 1 \\ \frac{\theta}{2}, & \text{if } x = 2 \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}\)
जहाँ \(\theta \in (0, 1)\) एक अज्ञात प्राचल है।
प्रतिदर्श आकार 100 है।
x = 0, 1, 2 की प्रेक्षित गणनाएँ क्रमशः 20, 30 और 50 हैं।
आइए प्रेक्षित गणनाओं को निरूपित करें
\(n_0 = 20 , \) के लिए \(x=0\)
\( n_1 = 30 \) के लिए \(x = 1\)
\( n_2 = 50 \) के लिए \(x = 2\)
संभावना फलन, PMF के आधार पर, प्रेक्षित डेटा बिंदुओं की प्रायिकताओं का गुणनफल है।
\(\theta \) दिए गए x = 0, 1, 2 को देखने की प्रायिकता है
\(L(\theta) = \left( \frac{1 - \theta}{2} \right)^{n_0} \left( \frac{1}{2} \right)^{n_1} \left( \frac{\theta}{2} \right)^{n_2}\)
\(\log L(\theta) = n_0 \log \left( \frac{1 - \theta}{2} \right) + n_1 \log \left( \frac{1}{2} \right) + n_2 \log \left( \frac{\theta}{2} \right)\)
\(\log L(\theta) = n_0 \log(1 - \theta) + n_1 \log \left( \frac{1}{2} \right) + n_2 \log(\theta) + \text{constant terms}\)
फलन को अधिकतम करते समय \(\frac{1}{2} \) से जुड़े नियतांक पदों की उपेक्षा की जा सकती है।
MLE ज्ञात करने के लिए, \(\theta\) के सापेक्ष \(\log L(\theta)\) का अवकलज लें और इसे शून्य के बराबर करें
\(\frac{d}{d\theta} \log L(\theta) = \frac{-n_0}{1 - \theta} + \frac{n_2}{\theta}\)
अधिकतम मान के लिए: \(\frac{-n_0}{1 - \theta} + \frac{n_2}{\theta} = 0\)
⇒ \(\frac{n_2}{\theta} = \frac{n_0}{1 - \theta} \)
समीकरण को हल करने पर: \(n_2(1 - \theta) = n_0 \theta\)
⇒ \(n_2 - n_2 \theta = n_0 \theta \)
⇒ \(n_2 = (n_0 + n_2) \theta \)
⇒ \(\theta = \frac{n_2}{n_0 + n_2}\)
\(n_0 = 20\) और \( n_2 = 50:\) प्रतिस्थापित करने पर,
\(\theta = \frac{50}{20 + 50} = \frac{50}{70} = \frac{5}{7} \)
इसलिए, सही विकल्प 2) है।
Sampling Distributions Question 10:
n ≥ 2 के लिए, मान लें कि X 1 , X 2 , ..., X n प्रायिकता घनत्व फलन वाले बंटन से एक यादृच्छिक प्रतिदर्श है
\(f(x \mid θ)=\left\{\begin{array}{cc} θ x^{θ-1}, & 0
जहाँ θ > 0 एक अज्ञात प्राचल है। तो निम्न में से कौन सा \(\frac{1}{\theta}\) के लिए समान रूप से न्यूनतम प्रसरण अनभिनत अनुमानक है?
Answer (Detailed Solution Below)
Sampling Distributions Question 10 Detailed Solution
सही उत्तर विकल्प 1 है
हम यथाशीघ्र समाधान अपडेट करेंगे।
Sampling Distributions Question 11:
मान लीजिए X 1 , ..., X n N(μ, 1) वितरण से एक यादृच्छिक प्रतिदर्श है, जहाँ μ ∈ ℝ अज्ञात है। H0 : μ = μ0 को H 1 : μ > μ0 के विरुद्ध परखने के लिए, जहाँ μ 0 ∈ ℝ कुछ निर्दिष्ट स्थिरांक है, निम्नलिखित दो परीक्षणों पर विचार करें:
(A) H0 को केवल तभी अस्वीकार करें जब X̅ n > c 1 हो, जहाँ c1 इस प्रकार हो कि \(P_{μ_0}\) (X̅ n > c 1 ) = α ∈ (0, 1) और X̅ n = \(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i\) है।
(बी) H 0 को केवल तभी अस्वीकार करें जब माध्यिका {X 1 , ..., X n } > c2 हो, जहाँ c2 इस प्रकार हो कि \(P_{μ_0}\) (माध्यिका{X 1 , ..., X n } > c 2 ) = α ∈ (0, 1) है।
तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Sampling Distributions Question 11 Detailed Solution
सही उत्तर विकल्प 1, 3 और 4 हैं
हम यथाशीघ्र समाधान अपडेट करेंगे।
Sampling Distributions Question 12:
माने कि किसी पेट्रोल पप पर कारे प्वासों बटन का अनुसरण करते हुए 10 प्रति घंटा की दर से आती हैं। (पेट्रोल) भरने में लगने वाला समय चर घातांकी रूप में बंटित है तथा उपलब्ध अकेला कर्मचारी हर कार को भरने में औसतन 4 मिनट लेता है। यह भी मानें कि भर जाने पर कारें तत्काल चली जाती हैं। मानें कि 3 या 3 से अधिक कारों के प्रतीक्षारत होने की प्रायिकता α तथा पंक्ति में लगी कारों की माध्य संख्या β है। निम्न वक्तव्यों में से कौन से सत्य हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Sampling Distributions Question 12 Detailed Solution
व्याख्या:
एक पेट्रोल पंप पर कारें 10 प्रति घंटे की दर से पॉइसन वितरण का पालन करती हैं और रिफिलिंग करने में लगने वाला समय घातीय रूप से वितरित होता है और एकल उपलब्ध कर्मचारी को प्रत्येक कार को रिफिल करने में औसतन 4 मिनट लगते हैं।
इसलिए यह क्यूइंग सिद्धांत को संतुष्ट करता है
आगमन (λ) = 10
सेवा दर (μ) = 60/4 = 15
मान लें कि कारें रिफिलिंग के तुरंत बाद निकल जाती हैं।
इसलिए यह M/M/1 मॉडल है
α रिफिलिंग के लिए प्रतीक्षा कर रहे 3 या अधिक कारों को खोजने की संभावना को दर्शाता है और β कतार में कारों की औसत संख्या को दर्शाता है।
α = P(X ≥ 3)
हम जानते हैं कि, P(X = x) = (1- \(\frac{\lambda}{μ}\))(\(\frac{\lambda}{μ}\))x = (1 -\(\frac{10}{15}\))(\(\frac{10}{15}\))x = \(\frac13(\frac23)^x\)
तो α = P(X ≥ 3)
= 1 - P(X ≤ 2)
= 1 - {P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)}
= 1 - {\(\frac13\) + \(\frac29\) + \(\frac4{27}\)} = 1 - \(\frac{19}{27}\) = \(\frac{8}{27}\)
विकल्प (1) सही है।
β = E(कारों की संख्या) = \(\frac{\lambda}{μ-\lambda}\) = \(\frac{10}{15-10}\) = 10/5 = 2
विकल्प (2) गलत है।
β - α = 2 - \(\frac{8}{27}\) = \(\frac{8}{27}\) = \(\frac{46}{27}\)
विकल्प (3) सही है।
αβ = \(\frac{8}{27}\) × 2 = \(\frac{16}{27}\)
विकल्प (4) गलत है।
Sampling Distributions Question 13:
मान लीजिए X₁ और X₂ N(0, σ²) बंटन से एक यादृच्छिक प्रतिदर्श है, जहाँ σ > 0 और N(μ, σ²) माध्य μ और प्रसरण σ² वाले प्रसामान्य बंटन को दर्शाता है। मान लीजिए, किसी अचर c के लिए, (c(X₁² + X₂²), ∞) प्रसरण σ² के लिए 0.95 विश्वास्यता गुणांक के साथ एक विश्वास्यता अंतराल है। तब c का मान किसके बराबर है?
Answer (Detailed Solution Below)
Sampling Distributions Question 13 Detailed Solution
संप्रत्यय:
काई-वर्ग बंटन:
स्वतंत्र रूप से प्रसामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर के वर्गों का योग एक काई-वर्ग बंटन का पालन करता है।
विशेष रूप से, \(N(0, \sigma^2) \) से लिए गए \(X_1\) और \(X_2\) के लिए, व्यंजक \(X_1^2 + X_2^2 \) एक काई-वर्ग बंटन का पालन करता है
2 स्वातंत्र्य कोटि के साथ, \(\sigma^2\) द्वारा स्केल किया गया:
\( X_1^2 + X_2^2 \sim \sigma^2 \cdot \chi^2_2\)
एक प्रतिदर्श से प्रसरण \(\sigma^2\) के आकलन के लिए काई-वर्ग बंटन महत्वपूर्ण है।
प्रसरण के लिए विश्वास्यता अंतराल:
प्रसरण \(\sigma^2\) के लिए एक विश्वास्यता अंतराल काई-वर्ग बंटन से प्राप्त होता है। सामान्य रूप
\(\sigma^2\) के लिए विश्वास्यता अंतराल का काई-वर्ग सांख्यिकी पर आधारित है
\( \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2, n-1}} < \sigma^2 < \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2, n-1}},\) जहाँ \(s^2 \) प्रतिदर्श प्रसरण है।
\(\chi^2_{\alpha/2, n-1}\) और \(\chi^2_{1-\alpha/2, n-1} \) n-1 स्वातंत्र्य कोटि के साथ काई-वर्ग बंटन से क्रांतिक मान हैं।
व्याख्या:
हमें दिया गया है
\(X_1, X_2 \) \(N(0, \sigma^2)\) से एक यादृच्छिक प्रतिदर्श हैं, जहाँ \(N(\mu, \sigma^2)\) माध्य μ और प्रसरण \(\sigma^2\) वाले प्रसामान्य बंटन को दर्शाता है।
विश्वास्यता अंतराल प्रसरण \(\sigma^2\) से जुड़ा हुआ है और इसका विश्वास्यता गुणांक 0.95 है।
हमें समीकरण \(c(X_1^2 + X_2^2) \) में c का मान ज्ञात करना है, जहाँ यह व्यंजक एक विश्वास्यता अंतराल को परिभाषित करने में मदद करता है।
चूँकि \(X_1 \) और \( X_2\) स्वतंत्र हैं और एक प्रसामान्य बंटन \(N(0, \sigma^2)\) से आते हैं, इसलिए उनके वर्ग 2 स्वातंत्र्य कोटि के साथ एक काई-वर्ग बंटन का पालन करते हैं, \(\sigma^2\) द्वारा स्केल किया गया। विशेष रूप से
\(X_1^2 + X_2^2 \sim \sigma^2 \cdot \chi^2_2.\)
वर्गों का योग \(X_1^2 + X_2^2\) का उपयोग प्रसरण \(\sigma^2 \) के लिए एक विश्वास्यता अंतराल बनाने के लिए किया जा सकता है।
व्यंजक \(c(X_1^2 + X_2^2)\) काई-वर्ग बंटन से संबंधित है। विश्वास्यता अंतराल काई-वर्ग बंटन के विभाजक पर आधारित है। 95% विश्वास्यता अंतराल के लिए, विश्वास्यता गुणांक 0.95 है, जिसका अर्थ है कि हमें 5% महत्व स्तर (0.05) पर काई-वर्ग बंटन के विभाजक की आवश्यकता है।
अचर c काई-वर्ग बंटन के विभाजक से संबंधित हो सकता है। दिए गए विश्वास्यता गुणांक 0.95, हम अपेक्षा करते हैं कि c काई-वर्ग बंटन और 5% महत्व स्तर से जुड़े लघुगणकीय संबंध से प्राप्त होगा।
सांख्यिकीय तालिकाओं से, 95% विश्वास्यता अंतराल के लिए, हम c के व्यंजक में \ln(0.05) का उपयोग करते हैं।
यह काई-वर्ग बंटन विभाजक फलन के आधार पर अवकलज किया गया है।
उपरोक्त समझ के आधार पर, c का सही मान \(c = \frac{-1}{2 \ln(0.05)}.\) है।
इस प्रकार, सही उत्तर विकल्प 3) है।
Sampling Distributions Question 14:
साईज़ n = 2 के नमूने को N = 4 साईज़ की समष्टि से बिना नमूना प्रतिस्थापन किए साईज़ के समानुपाती प्रायिकता के उपयोग से निकाला जाता है जहां प्रायिकतायें साईज़ के समानुपात में हैं
\(\begin{array}{ccccc} i: & 1 & 2 & 3 & 4 \\ p_i & 0.4 & 0.2 & 0.2 & 0.2 \end{array}\)
नमूने में यूनिट 1 के सम्मिलित होने की प्रायिकता है
Answer (Detailed Solution Below)
Sampling Distributions Question 14 Detailed Solution
Sampling Distributions Question 15:
मान लीजिए X1, X2, ..., Xn एक अज्ञात बंटन से एक यादृच्छिक प्रतिदर्श है जिसका निरपेक्ष सतत संचयी बंटन फलन (cdf) F है। मान लीजिए F0 एक निर्दिष्ट निरपेक्ष सतत cdf है। H0 : F(x) = F0(x) सभी x के लिए H1 : F(x) ≠ F0(x) कुछ x के लिए, की जाँच के लिए, निम्नलिखित दो परीक्षण सांख्यिकी पर विचार करें:
\(\displaystyle T_{1, n}=\sup _{x \in \mathbb{R}}\left|\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n I_{\left\{X_i \leq x\right\}}-F_0(x)\right| \), और \(\displaystyle T_{2, n}=\sup _{x \in \mathbb{R}} n\left|\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n I_{\left\{X_i \leq x\right\}}-F_0(x)\right|\), जहाँ \(I_{\left\{X_i \leq x\right\}}=\left\{\begin{array}{ll}1, & \text { if } X_i \leq x \\ 0, & \text { if } X_i>x\end{array}\right.\) i = 1, 2, ..., n के लिए।
तब निम्नलिखित में से कौन से कथन सत्य हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Sampling Distributions Question 15 Detailed Solution
सही उत्तर विकल्प 1 और 3 हैं।
हम जल्द ही समाधान अपडेट करेंगे।