Gauss-markov Models MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Gauss-markov Models - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Jun 25, 2025
Latest Gauss-markov Models MCQ Objective Questions
Gauss-markov Models Question 1:
मान लीजिए कि एक साधारण रैखिक प्रतिगमन मॉडल में गुणांक γ का OLS आकलक γ̂ है, और त्रुटि पद का प्रसरण, जिसे ϕ² से दर्शाया गया है, एक ज्ञात स्थिरांक है। गॉस-मार्कोव प्रमेय के अनुसार, इनमें से कौन सा निष्कर्ष सही हो सकता है?
Answer (Detailed Solution Below)
Gauss-markov Models Question 1 Detailed Solution
व्याख्या -
गॉस-मार्कोव प्रमेय कहता है कि एक रैखिक प्रतिगमन मॉडल में, जहाँ त्रुटियों का प्रत्याशा शून्य है और वे असंबंधित हैं और समान प्रसरण रखते हैं (एक स्थिति जिसे समविचरणता के रूप में जाना जाता है), गुणांकों का सबसे अच्छा रैखिक अनभिनत आकलक (BLUE) साधारण न्यूनतम वर्ग (OLS) आकलक द्वारा दिया जाता है।
विकल्प (1) - γ̂ BLUE (सबसे अच्छा रैखिक अनभिनत आकलक) है - यह सही है।
क्योंकि यह गॉस-मार्कोव प्रमेय का कथन है।
विकल्प (2) - γ̂ अनभिनत है, लेकिन हमेशा सबसे अच्छा आकलक नहीं होता है - यह गलत है।
गॉस-मार्कोव प्रमेय के अनुसार, OLS आकलक सबसे अच्छा रैखिक अनभिनत आकलक है।
विकल्प (3) - γ̂, ϕ² में परिवर्तनों से प्रभावित होता है - यह गलत है।
यदि गॉस-मार्कोव मान्यताएँ मान्य हैं, तो OLS आकलक त्रुटि पद के प्रसरण में परिवर्तनों से अप्रभावित रहते हैं।
विकल्प (4) - गॉस-मार्कोव प्रमेय गारंटी देता है कि γ̂ हमेशा γ के बराबर होता है - यह गलत है।
गॉस-मार्कोव प्रमेय आकलक और वास्तविक प्राचल के बीच समानता की गारंटी नहीं देता है। यह केवल गारंटी देता है कि OLS आकलक अनभिनत है (अर्थात, आकलक का प्रत्याशित मान वास्तविक प्राचल के बराबर है),
लेकिन एक व्यक्तिगत अनुमान अभी भी वास्तविक प्राचल से विचलित हो सकता है।
इसलिए, सही विकल्प (1) है।
Gauss-markov Models Question 2:
मान लीजिए β̂, β का OLS अनुमानक है और त्रुटि पद का प्रसरण एक ज्ञात स्थिरांक है, σ2। गॉस-मार्कोव प्रमेय के अंतर्गत निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Gauss-markov Models Question 2 Detailed Solution
अवधारणा -
गॉस-मार्कोव की मान्यताएँ हैं -
एक मानक रैखिक प्रतिगमन मॉडल Y = βX + u, जो गॉस-मार्कोव मान्यताओं को संतुष्ट करता है।
Y आश्रित चर का एक (n x 1) वेक्टर है,
X स्वतंत्र चर का एक (n x K के) मैट्रिक्स है (इंटरसेप्ट के लिए एक कॉलम सहित),
β पैरामीटरों का एक (K x 1) वेक्टर है,
u त्रुटि पदों का एक (n x 1) वेक्टर है।
गॉस-मार्कोव प्रमेय आश्वासन देता है कि यदि मॉडल गॉस-मार्कोव मान्यताओं को संतुष्ट करता है, तो β के लिए OLS अनुमानक β̂ सर्वश्रेष्ठ रैखिक निष्पक्ष अनुमानक है, यह देखते हुए कि त्रुटियां (u) एक दूसरे के साथ असंबद्ध हैं और X के साथ, शून्य अपेक्षित मूल्य है, और समान प्रसरण σ2 है।
विकल्प 1 गलत है क्योंकि समरूपता (त्रुटि पद पर समान भिन्नता) β̂ के BLUE होने की आवश्यकता है।
विकल्प 2 गलत है क्योंकि यदि X और u सहसंबंधित हैं, तो यह अंतर्जातता को इंगित करता है। इससे OLS अनुमानकों में पूर्वाग्रह पैदा हो जाता है, जिससे वे अब BLUE नहीं रह जाते हैं।
विकल्प 4 गलत है क्योंकि यह सच है कि छोड़े गए चर की उपस्थिति में पूर्वाग्रह उत्पन्न हो सकता है, यह गॉस-मार्कोव मान्यताओं या BLUE संपत्ति से संबंधित नहीं है।
सही उत्तर (3)विकल्प है।
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Gauss-markov Models Question 3:
मान लीजिए β̂, β का OLS अनुमानक है और त्रुटि पद का प्रसरण एक ज्ञात स्थिरांक है, σ2। गॉस-मार्कोव प्रमेय के अंतर्गत निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Gauss-markov Models Question 3 Detailed Solution
अवधारणा -
गॉस-मार्कोव की मान्यताएँ हैं -
एक मानक रैखिक प्रतिगमन मॉडल Y = βX + u, जो गॉस-मार्कोव मान्यताओं को संतुष्ट करता है।
Y आश्रित चर का एक (n x 1) वेक्टर है,
X स्वतंत्र चर का एक (n x K के) मैट्रिक्स है (इंटरसेप्ट के लिए एक कॉलम सहित),
β पैरामीटरों का एक (K x 1) वेक्टर है,
u त्रुटि पदों का एक (n x 1) वेक्टर है।
गॉस-मार्कोव प्रमेय आश्वासन देता है कि यदि मॉडल गॉस-मार्कोव मान्यताओं को संतुष्ट करता है, तो β के लिए OLS अनुमानक β̂ सर्वश्रेष्ठ रैखिक निष्पक्ष अनुमानक है, यह देखते हुए कि त्रुटियां (u) एक दूसरे के साथ असंबद्ध हैं और X के साथ, शून्य अपेक्षित मूल्य है, और समान प्रसरण σ2 है।
विकल्प 1 गलत है क्योंकि समरूपता (त्रुटि पद पर समान भिन्नता) β̂ के BLUE होने की आवश्यकता है।
विकल्प 2 गलत है क्योंकि यदि X और u सहसंबंधित हैं, तो यह अंतर्जातता को इंगित करता है। इससे OLS अनुमानकों में पूर्वाग्रह पैदा हो जाता है, जिससे वे अब BLUE नहीं रह जाते हैं।
विकल्प 4 गलत है क्योंकि यह सच है कि छोड़े गए चर की उपस्थिति में पूर्वाग्रह उत्पन्न हो सकता है, यह गॉस-मार्कोव मान्यताओं या BLUE संपत्ति से संबंधित नहीं है।
सही उत्तर (3)विकल्प है।
Gauss-markov Models Question 4:
मान लीजिए कि एक साधारण रैखिक प्रतिगमन मॉडल में गुणांक γ का OLS आकलक γ̂ है, और त्रुटि पद का प्रसरण, जिसे ϕ² से दर्शाया गया है, एक ज्ञात स्थिरांक है। गॉस-मार्कोव प्रमेय के अनुसार, इनमें से कौन सा निष्कर्ष सही हो सकता है?
Answer (Detailed Solution Below)
Gauss-markov Models Question 4 Detailed Solution
व्याख्या -
गॉस-मार्कोव प्रमेय कहता है कि एक रैखिक प्रतिगमन मॉडल में, जहाँ त्रुटियों का प्रत्याशा शून्य है और वे असंबंधित हैं और समान प्रसरण रखते हैं (एक स्थिति जिसे समविचरणता के रूप में जाना जाता है), गुणांकों का सबसे अच्छा रैखिक अनभिनत आकलक (BLUE) साधारण न्यूनतम वर्ग (OLS) आकलक द्वारा दिया जाता है।
विकल्प (1) - γ̂ BLUE (सबसे अच्छा रैखिक अनभिनत आकलक) है - यह सही है।
क्योंकि यह गॉस-मार्कोव प्रमेय का कथन है।
विकल्प (2) - γ̂ अनभिनत है, लेकिन हमेशा सबसे अच्छा आकलक नहीं होता है - यह गलत है।
गॉस-मार्कोव प्रमेय के अनुसार, OLS आकलक सबसे अच्छा रैखिक अनभिनत आकलक है।
विकल्प (3) - γ̂, ϕ² में परिवर्तनों से प्रभावित होता है - यह गलत है।
यदि गॉस-मार्कोव मान्यताएँ मान्य हैं, तो OLS आकलक त्रुटि पद के प्रसरण में परिवर्तनों से अप्रभावित रहते हैं।
विकल्प (4) - गॉस-मार्कोव प्रमेय गारंटी देता है कि γ̂ हमेशा γ के बराबर होता है - यह गलत है।
गॉस-मार्कोव प्रमेय आकलक और वास्तविक प्राचल के बीच समानता की गारंटी नहीं देता है। यह केवल गारंटी देता है कि OLS आकलक अनभिनत है (अर्थात, आकलक का प्रत्याशित मान वास्तविक प्राचल के बराबर है),
लेकिन एक व्यक्तिगत अनुमान अभी भी वास्तविक प्राचल से विचलित हो सकता है।
इसलिए, सही विकल्प (1) है।