स्पर्शिकांचे प्रमेय MCQ Quiz in मराठी - Objective Question with Answer for Theorem on Tangents - मोफत PDF डाउनलोड करा

दिलेल्याप्रमाणे:

वर्तुळ 1 ची त्रिज्या (r₁) = 28 सेमी

वर्तुळ 2 ची त्रिज्या (r₂) = 20 सेमी

केंद्रबिंदूंमधील अंतर (d) = 50 सेमी

वापरलेले सूत्र:

अनुप्रस्थ सामाईक स्पर्शिकाची लांबी = √(d² - (r₁ + r₂)²)

गणना:

अनुप्रस्थ सामाईक स्पर्शिकेची लांबी = √(50² - (28 + 20)²)

⇒ √(50² - 48²) = √(2500 - 2304) = √196 = 14 सेमी

∴ अनुप्रस्थ सामाईक स्पर्शिकेची लांबी 14 सेमी आहे.

दिलेल्याप्रमाणे:

दोन समकेंद्रित वर्तुळांचे व्यास: 34 सेमी आणि 50 सेमी.

CAPF ही एक सरळ रेषा आहे, AP = 16 सेमी.

C, F मोठ्या वर्तुळावर आहेत; A, P लहान वर्तुळावर आहेत.

वापरलेले सूत्र:

पायथागोरसचे प्रमेय:

कर्ण² = लंब² + पाया²

केंद्रापासून लंब जीवा दुभाजक करतो.

गणना:

लहान वर्तुळाची त्रिज्या = 34 ÷ 2 = 17 सेमी

मोठ्या वर्तुळाची त्रिज्या = 50 ÷ 2 = 25 सेमी

AP = 16 सेमी

AP दुभाजक आहे: AO = 16 ÷ 2 = 8 सेमी

ΔOAP₁ मध्ये :

OA2 + OP12 = AP12

⇒ 172 = OP12 + 82

⇒ OP12 = 289 - 64

⇒ OP12 = 225

⇒ OP1 = 15 सेमी

ΔOP₁ F मध्ये:

OF2 = OP12 + P1F2

⇒ 252 = 152 + P1F2

⇒ P1F2 = 625 - 225

⇒ P1F2 = 400

⇒ P1F = 20 सेमी

CF = 2 x P ₁ F = 2 x 20 = 40 सेमी

∴ CF ची लांबी 40 सेमी आहे.

दिलेले आहे:

PN ही छेदिका एक वर्तुळाला M आणि N बिंदूंवर अशी छेदते की PN > PM.

वर्तुळाला T बिंदूवर स्पर्श करणारी एक स्पर्शिका PT आहे.

PT = 40 सेमी

PM = 32 सेमी

वापरलेले सूत्र:

PT² = PM x PN

गणना:

PT² = PM x PN

40² = 32 x PN

1600 = 32 x PN

⇒ PN = 1600 / 32

⇒ PN = 50 सेमी

PN = PM + MN

50 = 32 + MN

⇒ MN = 50 - 32

⇒ MN = 18 सेमी

∴ जीवा MN ची लांबी 18 सेमी आहे.

दिले:

रेषा AB ही सरळ रेषा आहे आणि AT ही स्पर्शिका आहे.

∠AOQ = 94°

∠BOQ = 180° - ∠AOQ = 180° - 94° = 86°

∠BAT = 90° (R adius स्पर्शरेषेला लंब आहे)

वापरलेले सूत्र:

ΔBOQ मध्ये, OB = OQ (वर्तुळाची त्रिज्या) ⇒ ∠OQB = ∠OBQ

∠OBQ + ∠OQB + ∠BOQ = 180° (त्रिकोणातील कोनांची बेरीज)

गणना:

⇒ ∠OBQ + ∠OQB + ∠ BOQ = 180°

⇒ 86° + 2∠OBQ = 180°

⇒ 2∠OBQ = 180°- 86°

⇒ 2∠OBQ = 94°

⇒ ∠OBQ = 47°

ΔABT मध्ये, ∠ABT + ∠BAT + ∠ATQ = 180° (त्रिकोणातील कोनांची बेरीज)

⇒ ∠ATQ = 180° - (47° + 90°)

⇒ ∠ATQ = 180° - 137°

⇒ ∠ATQ = 43°

∴ ∠ATQ = 43°.

गणना:

r₁ = 32 सेमी आणि r₂ = 20 सेमी आणि केंद्रबिंदूंमधील अंतर = D = 60 सेमी.

उभयनिष्ठ स्पर्शिकेची लांबी = √(60² - (32 - 20)²) = √3456

अनुप्रस्थ उभयनिष्ठ स्पर्शिकेची लांबी = √(60² - (32 + 20)²) = √896

आवश्यक गुणोत्तर = √3456 : √896

संख्या √128 ने भागा

⇒ 3√3 : √7

म्हणून, या वर्तुळांच्या उभयनिष्ठ स्पर्शिकेच्या लांबीचे आणि अनुप्रस्थ उभयनिष्ठ स्पर्शिकेच्या लांबीचे गुणोत्तर 3√3 : √7 आहे.

संकल्पना:

त्रिज्या स्पर्शबिंदूवर स्पर्शिकेला लंब असते

चतुर्भुजाच्या सर्व कोनांची बेरीज = 360°

गणना:

PA आणि PB या बाह्य बिंदू P पासून वर्तुळाकडे काढलेल्या स्पर्शिका आहेत.

∠OAP = ∠OBP = 90°  (त्रिज्या स्पर्शबिंदूवर स्पर्शिकेला लंब असते)

आता, चतुर्भुज OAPB मध्ये,

∠APB + ∠OAP + ∠AOB + ∠OBP = 360° 

75° + 90° + ∠AOB + 90° = 360°

∠AOB = 105°

अशा प्रकारे, दोन त्रिज्या, OA आणि OB मधील कोन 105° आहे.

आपल्याला माहीत आहे,

थेट सामान्य स्पर्शिकेची लांबी = √[d² - (R - r)²]

जेथे d हे केंद्रांमधील अंतर आहे आणि R आणि r या वर्तुळांच्या त्रिज्या आहेत.

PQ = √[(R + r)² - (R - r)²]

⇒ PQ = √[R² + r² + 2Rr - (R² + r² - 2Rr)]

⇒ PQ = √4Rr

⇒ PQ² = 4Rr

दिलेले आहे:

LC = 6, CD = 11, LB = 4 आणि AB = x

वापरलेले सूत्र:

LC × LD = LB × AL

गणना:

प्रश्नानुसार

LC × LD = LB × AL 

6 × (6 + 11) = 4 × (4 + x) 

⇒ 4 + x = 51/2 

⇒ 4 + x = 25.5 

⇒ x = AB = 21.5 

∴ AB ची लांबी 21.5 सेमी आहे.

प्रमेय वापरून, अर्धवर्तुळातील कोन काटकोन असतो,

⇒ ∠BOA = 90°

प्रमेय: पर्यायी खंड प्रमेय असे सांगते की स्पर्शिका आणि जीवा यांच्यातील संपर्क बिंदूद्वारे असलेला कोन पर्यायी विभागातील कोनाइतका असतो.

⇒ ∠BOQ = ∠BAO = 60°

ΔABO मध्ये,

त्रिकोणाच्या कोनांची बेरीज 180° असते

⇒ ∠ABO = 180° – ∠BOA – ∠BAO = 180° – 90° – 60° = 30°

जीवा स्पर्शिका प्रमेयानुसार,

⇒ CD² = AD × BD

⇒ 8 × 8 = (12 + BD) × BD

⇒ 12BD + BD² = 64

⇒ BD² + 16BD – 4BD – 64 = 0

⇒ BD(BD + 16) – 4(BD + 16) = 0

वापरलेली संकल्पना:

स्पर्शिका छेदक प्रमेयानुसार

DE2 = DB × DA

गणना:

DB × DA = DE2

⇒ DB × (5 + DB) = 62

⇒ DB × (5 + DB) = 36

⇒ 5DB + DB2 = 36

⇒ DB2 + 5DB - 36 = 0

वरील द्विघात समीकरण सोडवणे,

DB = (-9) किंवा DB = 4

लांबी ऋणात्मक असू शकत नाही, DB = 4 सेमी

∴ DB ची लांबी 4 सेमी आहे.

Shortcut Trick 

DB × (5 + DB) = 36

पर्याय तपासून आपण हे समीकरण कमी वेळेत सोडवू शकतो

अशा प्रकारे, पर्याय 03 समीकरणाचे समाधान करतो

∴ DB ची लांबी 4 सेमी आहे.

दिलेले आहे:

XYZ आणि ZT या एकाच वर्तुळाच्या अनुक्रमे छेदिका आणि स्पर्शिका आहेत 

ZT = 6 सेमी, ZY = 4 सेमी आणि YX = x सेमी

वापरलेले सूत्र:

YZ × XZ = ZT² (जर ZXY ही एक छेदिका असेल जी एका वर्तुळाला Y आणि X वर छेदते आणि ZT ही त्याच वर्तुळाची स्पर्शिका आहे)

गणना:

4 × (YZ + XY) = 6²

⇒ 4 ×  (4 + x) = 36 

⇒ 4 + x = 9 

⇒ x = 5 

∴ x ची लांबी 5 सेमी आहे​ 

दिलेली माहिती:

∠PTQ = 50°

संकल्पना:

वर्तुळाच्या केंद्रापासून स्पर्शिकेच्या बिंदूपर्यंतची त्रिज्या स्पर्शरेषेला लंब असते.

गणना:

∠PTQ + ∠POQ + ∠OPT + ∠OQT = 360°

⇒ 50° + ∠POQ + 90° + 90° = 360°

⇒ ∠POQ = 360° - 230°

⇒ ∠POQ = 130°

आता, ∠TOQ = ∠POQ/2

⇒ ∠TOQ = 130°/2

⇒ ∠TOQ = 65°

∴ ∠TOQ चे मूल्य 65° आहे.

दिलेले आहे:

PA आणि PB या O केंद्र असलेल्या वर्तुळाच्या स्पर्शिका आहेत.

∠PAB = 55°

संकल्पना:

समान बाह्य बिंदूपासून काढलेल्या स्पर्शिका समान लांबीच्या असतात.

स्पर्शिकेच्या बिंदूवर स्पर्शिका त्रिज्येला लंब असतात.

गणना:

∵ ∠PAB = 55°

∴ ∠PBA = 55° (PA = PB)

त्रिकोण PAB मध्ये,

∠APB + ∠PAB + ∠PBA = 180° (त्रिकोणांच्या कोनांचा बेरजेचा गुणधर्म )

⇒ ∠P + 55° + 55° = 180°

⇒ ∠P = 70° 

तसेच, ∠AOB + ∠APB = 180° (चतुर्भुजाच्या सर्व कोनांची बेरीज 360° आणि ∠P = ∠B = 90° आहे)

⇒ ∠AOB = 180° - 70° = 110

∴ ∠AOB चे माप = 110° 

दिलेल्याप्रमाणे:

AB = 9 सेमी

BD = 3 सेमी

वापरलेली संकल्पना:

जर DBA ही वर्तुळाची छेदणारी रेषा असेल जी वर्तुळाला A आणि B वरून छेदते आणि DE ही स्पर्शिका असेल, तरDE2 = AD × BD

गणना:

प्रश्नानुसार,

DE² = AD × BD

⇒ DE² = (AB + BD) × BD

⇒ DE² = (9 + 3) × 3

⇒ DE² = √36 = 6

⇒ DE = 6