సరళ అసమికరణలు MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Linear Inequalities - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్

ఇవ్వబడింది:

x⁴ - y² = z²

y⁴ - z² = x²

z⁴ - x² = y²

మనం కనుగొనవలసిన విలువ:

(x² + 1)^-1 + (y² + 1)^-1 + (z² + 1)^-1

ఉపయోగించిన సూత్రం:

ఇవ్వబడిన సమీకరణాలు:

1. x⁴ - y² = z²

2. y⁴ - z² = x²

3. z⁴ - x² = y²

గణనలు:

సమీకరణాల సమమితి స్వభావాన్ని మనకు ఇచ్చారు. అనుకుందాం:

x = y = z

ఈ అనుమానాన్ని మొదటి సమీకరణంలో ప్రతిక్షేపించడం:

x⁴ - x² = x²

⇒ x⁴ = 2x²

⇒ x²(x² - 2) = 0

x ≠ 0 కాబట్టి, మనకు:

x² = 2

⇒ x = y = z = √2

ఇప్పుడు, x = y = z = √2 ను ఇచ్చిన సమాసంలో ప్రతిక్షేపించండి:

(x² + 1)^-1 + (y² + 1)^-1 + (z² + 1)^-1

⇒ 3 x (2 + 1)^-1

⇒ 3 x 3^-1

⇒ 3 x (1/3)

⇒ 1

∴ సమాసపు విలువ 1.

ఇచ్చిన:

అయితే |2x - 3| ≤ 3

వాడిన ఫార్ములా:

అసమానతను పరిష్కరించడానికి |2x - 3| ≤ 3, మేము దానిని రెండు వేర్వేరు అసమానతలుగా విభజించాము:

1. 2x - 3 ≤ 3

2. -(2x - 3) ≤ 3

లెక్కింపు:

మొదటి అసమానతను పరిష్కరించడం:

\( 2x - 3 \leq 3 \)

⇒ \( 2x \leq 6 \)

⇒ \( x \leq 3 \)

రెండవ అసమానతను పరిష్కరించడం:

\( -(2x - 3) \leq 3 \)

⇒ \( -2x + 3 \leq 3 \)

⇒ \( -2x \leq 0 \)

⇒ \( x \geq 0 \)

రెండు అసమానతలను కలపడం:

\( 0 \leq x \leq 3 \)

∴ సరైన సమాధానం ఎంపిక 3.

ఇచ్చిన,

⇒ x² - 6x - 27 > 0

⇒ x² - 9x + 3x - 27 > 0

⇒ x(x - 9) + 3(x - 9) > 0

⇒ (x - 9)(x + 3) > 0

మనకు తెలిసినట్లుగా, ab > 0 అయినప్పుడు, రెండు సందర్భాలు ఉన్నాయి:

⇒ a > 0 మరియు b > 0

⇒ లేదా a <0 మరియు b <0

మొదటి కేసును పరిశీలిస్తే,

⇒ (x - 9) > 0 మరియు (x + 3) > 0

⇒ x > 9 మరియు x > - 3

⇒ x > 9

రెండో కేసును పరిశీలిస్తే..

⇒ (x - 9) < 0 మరియు (x + 3) < 0

⇒ x < 9 మరియు x < - 3

⇒ x < - 3

∴ x < - 3 లేదా x > 9

ఇవ్వబడింది:

సాధించాల్సిన సమీకరణం: 3(5x + 2) - 4 = 2(1 - 4x)

ఉపయోగించిన సూత్రం:

సమీకరణం యొక్క ఒక వైపున చరరాశిని వేరుచేయడం ద్వారా x కోసం సాధించండి.

గణన:

రెండు వైపులా విస్తరించడం ద్వారా ప్రారంభించండి:

⇒ 3(5x + 2) - 4 = 2(1 - 4x)

⇒ 15x + 6 - 4 = 2 - 8x

సమీకరణాన్ని సరళీకృతం చేయండి:

⇒ 15x + 2 = 2 - 8x

సారూప్య పదాలను కలపండి:

⇒ 15x + 8x = 2 - 2

⇒ 23x = 0

రెండు వైపులా 23తో భాగించండి:

⇒ x = 0

x చరరాశి విలువ 0.

ఇవ్వబడింది:

2x + 3 ≥  8     ----(1)

3x + 1 ≤ 12    ----(2)

గణన:

(1) నుండి,

⇒ 2x + 3 ≥ 8

⇒ 2x ≥ 5  

⇒ x ≥ 5/2       ----(3)

(2) నుండి,

⇒ 3x + 1 ≤ 12

⇒ 3x ≤ 11

⇒ x ≤ 11/3   ----(4)

కాబట్టి, సమీకరణం (3) మరియు (4)లను నుండి,

∴ 5/2 ≤  x ≤ 11/3.

ఇచ్చినవి:

ప్రారంభ నిష్పత్తి = 5 ∶ 6

చివరి నిష్పత్తి 17 ∶ 22 కంటే తక్కువగా ఉండాలి

గణన:

తీసివేయవలసిన కనీస పూర్ణ సంఖ్యను a అని అనుకుందాం.

ప్రశ్న ప్రకారం,

(5 - a)/(6 - a) < 17/22

⇒ 5 x 22 - 22a < 17 x 6 - 17a

⇒ 110 - 22a < 102 - 17a

⇒ 110 - 102 < - 17a + 22a

⇒ 8 < 5a

⇒ 8/5 = 1.6 < a

∴ కనీస పూర్ణ సంఖ్య 2.

ఇచ్చినది:

a2 - b2 = 88

a - b = 4

ఉపయోగించిన సూత్రం:

a2 - b2 = (a - b)(a + b)

లెక్కింపు:

a - b = 4      ----(1)

(a - b)(a + b) = 88

⇒ 4 × (a + b) = 88

⇒ a + b = 88/4

⇒ a + b = 22      ----(2)

సమీకరణం (1) మరియు సమీకరణం (2) కలుపుతూ, మనకు లభిస్తుంది

⇒ a - b + a + b = 4 + 22

2a = 26

⇒ a = 13

(2) సమీకరణంలో a విలువను ఉంచండి , మనకు లభిస్తుంది

13 + b = 22

⇒ b = 9

ab = 13 × 9 విలువ

Ab = 117

∴ ab విలువ 117.

ఇచ్చిన సమస్య:

 x = 8 – 2√(15)

సాధన:

 x = (√5)² + (√3)² – 2√(15)

⇒ x = (√5 - √3)²

⇒ √x = √5 - √3

మరియు 1/√x = (√5 + √3)/2

ప్రశ్న ప్రకారం,

\({\left( {\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)^2} = {\left[ {\sqrt 5 - \sqrt 3 + \left( {\frac{{\sqrt 5 + \sqrt 3 \;}}{2}} \right)} \right]^2}\)

\(\Rightarrow {\left[ {\frac{{3\sqrt 5 - \sqrt 3 }}{2}} \right]^2}\)

\(\Rightarrow \left[ {\frac{{45 + 3 - 6\sqrt {15} }}{4}} \right]\)

\(\Rightarrow \frac{{48 - 6\sqrt {15} }}{4}\)

ఇచ్చిన సమస్య:

x - 1/x = 10

సూత్రం:

(a - b)³ = a³ - b³ - 3ab(a - b)

సాధన:

(x - 1/x)³ = x³ - 1/x³ - 3(x)(1/x)(x - 1/x)

⇒ 10³ = x3 - 1/x3 - 3 × 10

⇒  x3 - 1/x3 = 1000 + 30

⇒  x3 - 1/x3 = 1030

∴ x³ - 1/x³ విలువ 1030.

x - 1/x = n అయితే,

x3 - 1/x3 = n³ + 3n

ఇక్కడ, n = 10

x³ - 1/x³ = 10³ + 3 × 10

⇒ x3 - 1/x3 = 1000 + 30

⇒  x3 - 1/x3 = 1030

∴ x³ - 1/x³ విలువ 1030.

a + b = 5 ----(1)

2a – b = 4 ----(2)

సమీకరణం (1) మరియు (2) ని జోడించగా మనం పొందుతాము

⇒ a + b + 2a – b = 5 + 4

⇒ 3a = 9

⇒ a = 3

సమీకరణం (1) లో  a = 3ని ఉంచడం ద్వారా మనకు b = 2 వస్తుంది

ఇచ్చినది:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\)

గణనలు:

(bc + ac + ab)/abc = 1

⇒ ab + bc + ac = abc

మనం ముందుగా a ≤ b ≤ c అని చేసి తర్వాత ఒక క్రమంలో చేయవచ్చు

3bc ≥ ab + ac + bc 

⇒ 3bc ≥ abc

⇒ 3 ≥ a 

అయితే, అప్పుడు, a కి మూడు సంభావ్యతలు ఉంటాయ = 1, 2, or 3

a = 1 అయితే, అప్పుడు b + c + bc = bc మరియు b + c = 0 కాబట్టి ఎటువంటి సాధనాలు లేవు అని నిర్ధారణకురావచ్చు.

a = 2 అయితే, అప్పుడు  2(b + c) + bc = 2bc మరియు కాబట్టి  2(b + c) = bc 

దీనిని ఇలా రాయవచ్చు  (b − 2)(c − 2) = 4

అప్పుడు b − 2 = 1 మరియు c − 2 = 4 అనేది b = 3 మరియు c = 6 ఇస్తుంది లేదా b − 2 = 2 మరియు c − 2 = 2 అనేది b = c = 4 ఇస్తుంది

a = 3 అయితే, అప్పుడు 3(b + c) + bc = 3bc మరియు కాబట్టి 3b + 3c = 2bc దీనిని ఇలా రాయవచ్చు  (2b − 3)(2c − 3) = 9

అప్పుడు 2b − 3 = 1 మరియు  2c − 3 = 9 అనేది b = 2 మరియు c = 6 ఇస్తుంది లేదా  2b − 3 = 3  మరియు  2c − 3 = 3 అనేది b = c = 3 ఇస్తుంది

కాబట్టి, అదే క్రమంలో  (a, b, c) = (2, 3, 6), (2, 4, 4), (3, 3, 3)

∴ (a, b, c) విలువ (2, 3, 6)∴3bc≥abc⇒3≥a3 bc≥abc⇒3≥a3bc≥abc⇒3≥a3bc≥abc⇒3≥

గణన:

ప్రకటన నుండి I.

x² - 5x + 6 = 0

(x - 2) (x - 3) = 0

x = 2, 3

ప్రకటన II నుండి.

y² - 9y + 20 = 0

(y - 5) (y - 4) = 0

y = 5, 4

ఇచ్చినది:

(x/2) - 5 < (x/2) - 4

గణన:

(x/2) - 5 < (x/2) - 4

పై సమీకరణంలో, x/2 విలువ రెండు వైపులా ఉంటుంది. మీరు LHSలో 5 మరియు RHSలో 4 తీసివేసినప్పుడు

5 ఎల్లప్పుడూ 4 కంటే ఎక్కువగా ఉంటుందని మాకు తెలుసు, కాబట్టి RHS విలువ ఎల్లప్పుడూ LHS కంటే ఎక్కువగా ఉంటుందని మనం చెప్పగలం.

కాబట్టి, పై అసమానత x యొక్క అన్ని వాస్తవ విలువలకు సరైనది

కానీ ఎంపిక ప్రకారం, వాటిలో ఒకదానిలో ఉన్న 8 అతి పెద్ద సరి విలువ.

∴ x యొక్క అతి పెద్ద సరి విలువ 8.

ఇచ్చినది:

ఇచ్చిన సంఖ్య 187 × 183.

ఫార్ములా:

(a + b)(a - b) = a² - b²

లెక్కింపు:

187 × 193 విలువ x అనుకుందాం.

x = (190 - 3)(190 +3)

⇒ x = 190² - 3²

⇒ x = 36100 - 9

⇒ x = 36091

∴ x విలువ 36091.

ఇవ్వబడింది:

x⁴ - y² = z²

y⁴ - z² = x²

z⁴ - x² = y²

మనం కనుగొనవలసిన విలువ:

(x² + 1)^-1 + (y² + 1)^-1 + (z² + 1)^-1

ఉపయోగించిన సూత్రం:

ఇవ్వబడిన సమీకరణాలు:

1. x⁴ - y² = z²

2. y⁴ - z² = x²

3. z⁴ - x² = y²

గణనలు:

సమీకరణాల సమమితి స్వభావాన్ని మనకు ఇచ్చారు. అనుకుందాం:

x = y = z

ఈ అనుమానాన్ని మొదటి సమీకరణంలో ప్రతిక్షేపించడం:

x⁴ - x² = x²

⇒ x⁴ = 2x²

⇒ x²(x² - 2) = 0

x ≠ 0 కాబట్టి, మనకు:

x² = 2

⇒ x = y = z = √2

ఇప్పుడు, x = y = z = √2 ను ఇచ్చిన సమాసంలో ప్రతిక్షేపించండి:

(x² + 1)^-1 + (y² + 1)^-1 + (z² + 1)^-1

⇒ 3 x (2 + 1)^-1

⇒ 3 x 3^-1

⇒ 3 x (1/3)

⇒ 1

∴ సమాసపు విలువ 1.