వృత్తం యొక్క జ్యా లపై సిద్ధాంతాలు MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Theorem on Chords - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్

ఇచ్చినవి:

తీగను పొడవు 16 సెం.మీ మరియు వ్యాసార్థం 10 సెం.మీ.

ఉపయోగించిన భావన:

వృత్త వ్యాసార్థం వృత్త జ్యాను లంబంగా సమద్విఖండన చేస్తుంది.

ఉపయోగించిన సూత్రం:

లంబకోణ త్రిభుజంలో, పైథాగరస్ సిద్ధాంతం ప్రకారం

(కర్ణం)2 = (లంబం)2 + (భుజం)2

గణన:

రెండు తీగనులు AB = 16 సెం.మీ అనుకుందాం

వృత్త వ్యాసార్థం లంబంగా సమద్విఖండన చేస్తుంది కాబట్టి,

AL = BL = 16/2 = 8 సెం.మీ

Δ AOL లో, ∠ALO = 90°

⇒ (AO)2 = (OL)2 + (AL)2

⇒ 102 = (OL)2 + (8)2

⇒ (OL)2 = 100 - 64 = 36

⇒ OL = 6 సెం.మీ

కాబట్టి, వృత్త కేంద్రం నుండి తీగను దూరం 6 సెం.మీ.

ఇవ్వబడింది:

వ్యాసార్థం (r) = 17 సెం.మీ

కేంద్రం నుండి తీగ దూరం (d) = 15 సెం.మీ

ఉపయోగించిన సూత్రం:

తీగ పొడవు = 2√(r² - d²)

గణనలు:

తీగ పొడవు = 2√(17² - 15²)

⇒ తీగ పొడవు = 2√(289 - 225)

⇒ తీగ పొడవు = 2√64

⇒ తీగ పొడవు = 2 x 8

⇒ తీగ పొడవు = 16 సెం.మీ

∴ సరైన సమాధానం ఎంపిక (4).

ఇచ్చినవి:

ఒక వృత్తం యొక్క AB మరియు CD అనే జ్యావులు, విస్తరించినప్పుడు, వృత్తం వెలుపల P అనే బిందువు వద్ద కలుస్తాయి. AB = 6 సెం.మీ, CD = 3 సెం.మీ మరియు PD = 5 సెం.మీ

గణన:

PA x PB = PC x PD

(6 + x) x = 8 x 5

⇒ x² + 6x - 40 = 0

⇒ x² + 10x - 4x - 40

⇒ (x + 10) (x - 4) = 0

⇒ x = 4

∴ PB 4 సెం.మీ కు సమానం.

ఇచ్చినవి:

వృత్తం వ్యాసం = 26 సెం.మీ

వృత్తం వ్యాసార్థం (r) = 26/2 = 13 సెం.మీ

జ్యా పొడవు = 10 సెం.మీ ప్రతి

రెండు జ్యాల మధ్య దూరం = h సెం.మీ

ఉపయోగించిన సూత్రం:

2a పొడవు ఉన్న జ్యాకు, వృత్త కేంద్రం నుండి లంబ దూరం ఇలా ఇవ్వబడుతుంది:

d = √(r² - a²)

ఇక్కడ r = వ్యాసార్థం, a = జ్యా పొడవులో సగం

గణన:

జ్యా పొడవులో సగం (a) = 10/2 = 5 సెం.మీ

లంబ దూరానికి సూత్రాన్ని ఉపయోగించి:

d = √(13² - 5²)

d = √(169 - 25) = √144

⇒ d = 12 సెం.మీ

రెండు జ్యాల మధ్య దూరం = 2d = 2 x 12 = 24 సెం.మీ

∴ h విలువ 24 సెం.మీ.

ఇచ్చినవి:

26 సెం.మీ వ్యాసార్థం ఉన్న ఒక వృత్తానికి 10 సెం.మీ పొడవున్న రెండు సమాన సమాంతర జ్యావులు ఉన్నాయి.

ఉపయోగించిన సూత్రం:

వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం R అని, ప్రతి జ్యా కేంద్రం నుండి దూరం d₁ మరియు d₂ అని అనుకుందాం.

కేంద్రం నుండి జ్యాకు లంబ దూరం సూత్రాన్ని ఉపయోగించి:

\(\sqrt{R^2 - (\frac{chord\ length}{2})^2} = distance\ from\ center\ to\ chord\)

గణనలు:

వ్యాసార్థం (R) = \(\frac{26}{2}\) = 13 సెం.మీ

జ్యా పొడవులో సగం = \(\frac{10}{2}\) = 5 సెం.మీ

కేంద్రం నుండి ప్రతి జ్యాకు దూరం (d₁ మరియు d₂):

\(\sqrt{13^2 - 5^2}\)

⇒ \(\sqrt{169 - 25}\)

⇒ \(\sqrt{144}\)

⇒ 12 సెం.మీ

రెండు జ్యావుల మధ్య దూరం = 2 x 12 = 24 సెం.మీ

∴ సరైన సమాధానం 2వ ఎంపిక.

ఇచ్చినవి:

AX = 24

XB = k

CX = (k + 2)

XD = 16

వాడిన ఫార్ములా:

రెండు వ్యాసములు AB మరియు CD పాయింట్ X వద్ద కలుస్తుంటే.

అప్పుడు, AX × XB = CX × XD

లెక్కింపు:

AX × XB = CX × XD

⇒ 24 × k = (k + 2) × 16

⇒ 3k = 2(k + 2)

⇒ 3k - 2k = 4

⇒ k = 4

కాబట్టి, k విలువ 4.

ఇచ్చిన దత్తాంశం:

∠BAC = 60°

ఉపయోగించిన కాన్సెప్ట్:

మధ్యలో వృత్తం యొక్క చాపం ద్వారా గీయబడిన కోణం వృత్తం యొక్క మిగిలిన భాగంలో ఏదైనా బిందువు ద్వారా గీయబడిన  కోణం రెట్టింపు అవుతుంది.

సాధన:

∠BIC = 2 × ∠BAC = 2 × 60° = 120° 

ఇచ్చిన:

∠APB = 122°

ఉపయోగించిన భావన:

చక్రీయ చతుర్భుజం యొక్క వ్యతిరేక భుజాల మొత్తం 180°

వృత్తం యొక్క ఆర్క్ ద్వారా దాని మధ్యలో ఉన్న కోణం వృత్తం యొక్క చుట్టుకొలతలో ఎక్కడైనా ఉపసంహరించుకునే కోణం కంటే రెండింతలు ఉంటుంది.

లెక్కింపు:

ఇచ్చిన చిత్రంలో,

APBT ఒక చక్రీయ చతుర్భుజం.

∠ATB + ∠APB = 180° [వ్యతిరేక కోణాల మొత్తం 180°]

⇒ x° + 122° = 180°

⇒ x = (180° – 122°)

⇒ x = 58°

∠ATB = 58°

మరియు దాని మధ్యలో ఉన్న వృత్తం యొక్క ఆర్క్ ద్వారా ఉపసంహరించబడిన కోణం వృత్తం చుట్టుకొలతలో ఎక్కడైనా ఉపసంహరించుకునే కోణం కంటే రెండింతలు ఉంటుందని మనకు తెలుసు.

⇒ ∠AOB = 2 × ∠ATB

⇒ ∠AOB = 2 × 58°

⇒ ∠AOB = 116°

ఇప్పుడు,

OA = OB [వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం]

అప్పుడు,

∠OAB + ∠AOB + ∠OBA = 180°

⇒ θ + 116° + θ = 180°

⇒ 2θ + 116° = 180°

⇒ 2θ = (180° – 116°)

⇒ 2θ = 64°

⇒ θ = 32°

కాబట్టి,

∠OAB = θ = 32°

∴ ∠OAB యొక్క అవసరమైన విలువ 32°.

సత్వరమార్గ ట్రిక్

పైన ఇచ్చిన రేఖాచిత్రం నుండి మనకు ఉంది

⇒ θ = P - 90°

⇒ θ = 122° - 90° = 32°

∴ సరైన సమాధానం 32°.

గణన:

RP = RQ + PQ = 14.4 + 11.2 = 25.6

మనకు తెలిసినట్లుగా,

RP × RQ = RT × RS

⇒ 25.6 × 14.4 = RT × 12.8

⇒ RT = 28.8 సెం.మీ

ఇచ్చినది:

రెండు వృత్తాల వ్యాసార్థం 12 సెం.మీ మరియు 5 సెం.మీ. వాటి కేంద్రాల మధ్య దూరం 25 సెం.మీ.

ఉపయోగించిన సూత్రం:

రెండు వృత్తాల ఉభయస్థ స్పర్శరేఖ పొడవు = \(\sqrt {D^2 - (r_1 - r_2)^2}\) (D = వాటి కేంద్రాల మధ్య దూరం, r₁ = పెద్ద వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం మరియు r₂ = చిన్న వ్యాసార్థం

గణన:

కేంద్రాలు P మరియు Q వద్ద అనుకుందాం.

QN = పెద్ద వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం = 12 సెం.మీ

PM = చిన్న వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం = 5 సెం.మీ

MN ఉభయస్థ స్పర్శరేఖగా అనుకుందాం.

సూత్రం ప్రకారం,

MN యొక్క పొడవు

⇒ \(\sqrt {25^2 - (12 - 5)^2}\)

⇒ \(\sqrt {576}\)

⇒ 24 సెం.మీ

∴ ఉభయస్థ స్పర్శరేఖ యొక్క పొడవు 24 సెం.మీ.

ఇచ్చింది:

వ్యాసార్థం = 10 సెం.మీ

ఉపయోగించిన భావన:

సారూప్యత యొక్క భావన

AAA సారూప్యత → ఒకవేళ ఒక త్రిభుజంలోని అన్ని మూడు కోణాలు మరో త్రిభుజంలోని సంబంధిత కోణాలకు సమానంగా ఉన్నట్లయితే, అప్పుడు త్రిభుజాలు ఒకేవిధంగా ఉంటాయి.

గణన:

ఇచ్చిన పటంలో,

ΔDAO ∼ ΔAPO [∵ ∠OAP = ∠ODA = 90° మరియు ∠AOD రెండు త్రిభుజాలలో సాధారణం]

కాబట్టి,

AD/AP = DO/AO

⇒ 6/AP = 8/10 [6, 8, 10 పైథాగరస్ నియమాన్ని పాటించే భుజాలు]

⇒ AP = 60/8

⇒ AP = 7.5 సెం.మీ

∴ స్పర్శరేఖ AP పొడవు 7.5 సెం.మీ

ఇవ్వబడింది:

జ్యా = 21 సెం.మీ

వ్యాసం = 25 సెం.మీ

భావన:

జ్యాపై కేంద్రం నుండి లంబంగా గీసిన రేఖ, జ్యాను రెండు సమాన భాగాలుగా విభజిస్తుంది.

పైథాగరస్ సిద్ధాంతం:

OA2 = OD2 + AD2

గణన:

 AB అనేది జ్యా ,దీని  యొక్క పొడవు 21 సెం.మీ అనుకోండి.

⇒ OD అనేది లంబ దూరం

⇒ AO అనేది వృత్త వ్యాసార్థం

OA2 = OD2 + AD2

⇒ (25/2)2 = OD2 + (21/2)2

⇒ 625/4 = OD2 + 441/4 

⇒ OD2 = 625/4 - 441/4 = 184/4 = 46 

∴ OD = √46

ఇచ్చినది:

AB మరియు CD ఒక వృత్తం యొక్క రెండు చాపాలు P వద్ద బాహ్యంగా కలుస్తాయి

AB = 4 సెం.మీ, CD = 11 సెం.మీ మరియు PD = 15 సెం.మీ

ఉపయోగించిన సూత్రం:

AB మరియు CD అనే రెండు చాపాలు బయటి బిందువు P వద్ద కలుస్తుంటే,

PA × PB = PC × PD

గణనలు:

PA యొక్క పొడవు 'x'గా అనుకుందాం

PC = PD - CD

⇒ 15 - 11

⇒ PC = 4 సెం.మీ

ప్రశ్న ప్రకారం

PA × PB = PC × PD

x × (x + 4) = 15 × 4

⇒ x = 6

PB = PA + AB

⇒ 6 + 4

⇒ 10

∴ PB యొక్క పొడవు 10 సెం.మీ

ఇవ్వబడినది:

∠ACB = 40°

ఉపయోగించవలసిన కాన్సెప్ట్:

ఒక చాపము వృత్త కేంద్రం వద్ద ఏర్పరచు కోణం, ఆ చాపం మిగిలిన వృత్తంపై ఏదేని బిందువు వద్ద ఏర్పరిచే కోణానికి రెట్టింపు ఉంటుంది.

గణన:

∠AOB = 2 × ∠ACB     

⇒ ∠AOB = 2 × 40 = 80°

∴ ∠AOB యొక్క విలువ 80°