निम्नलिखित कथनों में से कौन-सा/कौन-से कथन सत्य है/हैं:

1. कोटि n वाला प्रत्येक शून्य आव्यूह एक विकर्ण आव्यूह है। 

2. कोटि n वाला प्रत्येक शून्य आव्यूह एक अदिश आव्यूह है। 

संकल्पना:

शून्य आव्यूह या रिक्त आव्यूह:

कोई आव्यूह जिसमें सभी तत्व शून्य होते हैं, उसे शून्य आव्यूह कहा जाता है। इसे शून्य आव्यूह के रूप में भी जाना जाता है और इसे O द्वारा दर्शाया जाता है। 

अर्थात् \(O = \;{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0& \cdots &0\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0& \cdots &0 \end{array}} \right]_{m \times \;n}}\)

विकर्ण आव्यूह:

कोई वर्ग आव्यूह जिसमें प्रमुख विकर्ण को छोड़कर सभी तत्व शून्य होते हैं, उसे विकर्ण आव्यूह कहा जाता है। 

अर्थात् यदि i ≠ j के लिए aij = 0 है, तो A = [aij]n × n एक विकर्ण आव्यूह है। 

सूचना: यदि A = diag [a11, a22, a33, ....., ann कोटि n वाली एक विकर्ण आव्यूह है, तो \(A = \;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}& \cdots &0\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0& \cdots &{{a_{nn}}} \end{array}} \right]\) है। 

तत्समक आव्यूह:

एक विकर्ण आव्यूह जिसमें सभी प्रमुख विकर्ण तत्व 1 के बराबर होते हैं, उसे तत्समक आव्यूह कहा जाता है। इसे इकाई आव्यूह के रूप में भी जाना जाता है जबकि कोटि n वाले एक तत्समक आव्यूह को I या In द्वारा दर्शाया जाता है।

अदिश आव्यूह:

एक विकर्ण आव्यूह जिसमें सभी प्रमुख तत्व बराबर होते हैं, उसे अदिश आव्यूह कहा जाता है। 

गणना:

कथन 1: कोटि n वाला प्रत्येक शून्य आव्यूह एक विकर्ण आव्यूह है। 

चूँकि हम जानते हैं कि कोटि n वाली एक शून्य आव्यूह निम्न द्वारा ज्ञात की जाती है: \(O = \;{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0& \cdots &0\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0& \cdots &0 \end{array}} \right]_{n \times \;n}}\)

∵ आव्यूह O के सभी प्रमुख विकर्ण तत्व शून्य होते हैं जो एक विकर्ण आव्यूह की परिभाषा का उल्लंघन करते हैं। 

चूँकि विकर्ण आव्यूह के लिए प्रमुख विकर्ण को छोड़कर सभी तत्व शून्य होते हैं। 

इसलिए, कथन 1 असत्य है। 

कथन 2: कोटि n वाला प्रत्येक शून्य आव्यूह एक अदिश आव्यूह है। 

चूँकि हम जानते हैं कि, प्रत्येक अदिश आव्यूह एक विकर्ण आव्यूह है और कथन 1 से हम जानते हैं कि कोटि n वाली कोई शून्य आव्यूह विकर्ण आव्यूह नहीं होती है। 

अतः कथन 2 भी असत्य है।